• Sitemap
  • Annoncering
  • Om
  • Kontakt

Skoleanalyser.dk

- Din vej til topkarakter

  • Forside
  • HHX
    • Afsætning
    • Erhvervsret
    • International Økonomi
    • Opgaver
    • Samtidshistorie
    • Virksomhedsøkonomi
  • STX
    • AT Metoder
    • Billedkunst
    • Biologi
    • Dansk
    • Engelsk
    • Erhvervsøkonomi
    • Fransk
    • Fysik
    • Historie
    • Kemi
    • Mediefag
    • Oldtidskundskab
    • Opgaver
    • Psykologi
    • Religion
    • Samfundsfag
  • HTX
    • Kommunikation/IT
    • Opgaver
    • Teknikfag
    • Teknologi
    • Teknologihistorie
  • HF
    • Opgaver
  • Tilføj noter
  • Kompendier
  • Blog
  • Litteraturlistegenerator
  • Beregnere
Du er her: Forside / Kompendier / Gratis noter til Matematik B STX

Gratis noter til Matematik B STX

juni 29, 2016 af Alexander Leo-Hansen Skriv kommentar

1 Stjerne2 Stjerner3 Stjerner4 Stjerner5 Stjerner (17 votes, average: 4,12 out of 5)
Loading...

Indholdsfortegnelse

      • 0.0.1 Hent gratis eksemplar af disse noter
  • 1 10. Differentialregning

Hent gratis eksemplar af disse noter

Vilkår gælder

    1. Trigonometri

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus. Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.

    Giv eksempel på brug i geometriprojekt

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

    Enhedscirklen:

    Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

    Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

    Sinus og cosinus i enhedscirklen:

    Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

    Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

    Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

    Altså må der gælde, pga. ovenstående

    Vi kan mere generelt sige

    Dvs. ligningen har to løsninger

    Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

    Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

    Altså må der gælde

    Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

    Sinusrelationen

    Vi skal bevise

    Relationen skrives også

    For at bevise det, vil jeg starte med at bevise Areal formlen.

    Bevis Areal formlen

    Dette kan bevises på to forskellige måder, den ene, hvor højden h falder ind i trekanten (den nemme), og den anden, hvor højden falder udenfor trekanten (den sværere). Og man beviser selvfølgelig kun den ene af dem.

    Bevis, den hvor højden falder udenfor

    Vi ser på nedenstående trekant, vor højden falder udenfor:

    Vi ved fra tidligere, at og at

    Fra areal formlen af en retvinklet trekant ved vi, at arealet kan skrives , her er b vores grundlinje, og dermed finder vi et udtryk for højden

    Da

    Dermed indsætter jeg ind på h's plads i formlen og får

    Tilsvarende måde kan vi bevise disse

    Bevis for sinusrelationen

    Da vi ved at arealet for vilkårlig trekanter kan skrives således

    Da alle tre ligninger er lig A, kan vi sætte dem lig med hinanden¨

    Jeg ganger med 2, så forsvinder

    Så divider jeg med

    Dermed er vi færdig med beviset, og vi har sinusrelationen

    1. Trigonometri

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus. Bevis cosinusrelationen.

    Giv eksempel på anvendelse.

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

    Enhedscirklen:

    Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

    Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

    Sinus og cosinus i enhedscirklen:

    Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

    Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

    Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

    Altså må der gælde, pga. ovenstående

    Vi kan mere generelt sige

    Dvs. ligningen har to løsninger

    Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

    Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

    Altså må der gælde

    Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

    Cosinus relationen

    Vi skal bevise

    Bemærk, cosinusrelationen bliver til Pythagoras' sætning hvis fordi (aflæses på enhedscirklen)derfor kaldes den for udvidet Pythagoras sætning

    Vi deler trekanten linjestykke b op i to, det ene har længden x, og det andet får så længden

    Her skal vi anvende Pythagoras samt formlen

    Starter med at anvende Pythagoras

    I trekant , her skal vi så isolere h, så der står

    tilsvarende vis gøres det med den anden trekant

    i trekant , her skal vi isolere h, så der står

    Nu står der ved begge ligninger, derfor må jeg gerne sætte dem lig hinanden

    Nu vil jeg have på den ene side, så flytter jeg på den anden side

    Men først udregner jeg kvadrat sætningen

    De to går ud med hinanden, tilbage har vi

    Nu skal vi finde et udtryk for x

    Vi får fra trekanten, at

    Det indsætter jeg i stedet for x i ligningen og får dermed cosinusrelationen

    1. Trigonometri

    Vis følgende: at vinkelsummen i en trekant er 180 grader samt Pythagoras sætning

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus, samt sinus og cosinus formlerne i retvinklede trekanter.

    Kom til sidst ind på vilkårlige trekanter.

    Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

    Enhedscirklen:

    Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

    Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

    Sinus og cosinus i enhedscirklen:

    Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

    Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

    Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

    Altså må der gælde, pga. ovenstående

    Vi kan mere generelt sige

    Dvs. ligningen har to løsninger

    Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

    Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

    Altså må der gælde

    Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

    Vinkelsummen i en trekant

    Topvinkler

    Topvinkler dannes når to linjer skærer hinanden, det er vinklerne som ligger overfor hinanden, f.eks. er u og w topvinkler. Der gælder at topvinkler er lige store.

    Bevis

    Topvinkler er lige store, u = w fordi:

    Dvs. hvilket bliver til

    (v'erne bliver fjernet, dette er tilladt så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet.)

    Og nu tilbage til det man skal lave!

    Vinkelsum, bevis (Det er her rigtigt vigtigt at lave en dræber god tegning)

    U           V           W

    B

    A
    C

    Vi ser på trekanten ABC og laver en linje parallel med AC gennem B. Desuden forlænger vi linjestykkerne AB og CB så vi får ovenstående trekant. Vi ser at

    Og vi vil nu vise at u, v og w er lige så store som C, B og A henholdsvis.

    , fordi de er topvinkler

    , fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

    , fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

    Dvs.

     

    Pythagoras sætning

    I retvinklede trekanter gælder Pythagoras' sætning , her er a og b de to kateter, og c er hypotenusen.

    Bevis:

    Vi tager trekanten og drejer den tre gange med 90 grader så vi får kvadratet vist på figuren

    Vi udregner arealet af kvadratet. Hver af sider er så arealet er

    1. A =
    1. Vi kan også udregne det samlede areal som arealet af de fire trekanter plus arealet af det indre kvadret.

    Arealet af en trekant er

    Arealet af det indre kvadrat er c2

    Begge udtryk giver jo arealet så de må være lig hinanden:

    Så kan man trække 2ab på hver sin side er lighedstegnet så der kommer til at stå

    Grunden til at den indre firkant er et kvadrat er, som vi tidligere har vist, at vinklerne til sammen skal være , derfor gælder der , samtidig ved vi også, at en lige linje skal være , derfor er , vi sætter dem lig hinanden får vi

    De andre går ud med hinanden.

    Formlerne for cosinus og sinus

    Vi skal starte med at tegne en retvinklet trekant, kald det ABC fra enhedscirklen, da vi ved, at cosinus og sinus aflæses fra punktet p, danner vi dermed to ensvinklede trekanter, altså bliver vinkel .

    Da begge trekanter er ensvinklede, og hypotenusen i trekant ABC er c, starter vi med at finde forstørrelsesfaktoren. Idet vi ved, at hypotenusen i den lille trekant er 1 (enhedscirklen). Altså der skal findes forstørrelsesfaktor med trekant ABC og APQ.

    Dermed bliver forstørrelsesfaktoren

    (vi skal ende med, at have to trekanter)

    Nu har vi forstørrelsesfaktoren c, og den kan vi bruge til at finde andre sider

    Isoler sinus, og får

    Og jeg finder siden b tilsvarende vis

    Isoler cosinus, og får

    1. Polynomier

    Gør rede for kvadratsætningerne (parentesreglerne).

    Kom ind på antallet af rødder i andengradspolynomiet

    Hvordan man finder rødderne og deres betydning for grafens beliggenhed.

    Polynomier:

    1.grads polynomium

    2.grads polynomium

    3.grads polynomium

    n'te grads polynomium

    antallet af rødder (skæring med x-aksen)

    1.grads: 1 rod

    2.grads: 0,1,2 rødder

    3.grads: 1,2,3 rødder

    n'te grads:

    Hvis

    n er lige: 0,1,…,n rødder

    n er ulige; 1,2,…n rødder

    1. gradspolynomier

    Grafen (kaldes en parabel)

    • Hvis så vender grenene opad
    • Hvis så vender grenene nedad
    • Jo større a er, jo mindre afstand er der mellem grenene
    • b er hældningen af tangenten i skæringspunktet med y-aksen, fordi

    Og

    • c er skæring på y-aksen, fordi
    • d er diskriminanten
    Kvadratsætninger
    Bevis for 1:

    Eksempel:

    I får lig et eksempel mere

    Rødder:

    De evt. rødder er skæringen med x-aksen, dvs. evt. løsninger til

    Rodformel

    Bevis

    ganger med på hvert led

    ligger til begge sider

    så trækker man fra begge sider

    så bruger jeg 1. kvartsætning, vi har også anvendt som eksempel, og det der står på venstre side af ligningen er d

    Nu er der3 muligheders

    1. så er der ingen løsnng, fordi altid er nul eller positiv

    (tager kvadratroden)

    og det passer med formlen

    1. Polynomier

    Gør rede for andengradspolynomiets graf og bevis toppunktsformlen.

    Gør rede for konstanterne a, b, c og d's betydning for grafen og den toppunkt og evt. nulpunkter.

    Polynomier:

    1.grads polynomium

    2.grads polynomium

    3.grads polynomium

    n'te grads polynomium

    antallet af rødder (skæring med x-aksen)

    1.grads: 1 rod

    2.grads: 0,1,2 rødder

    3.grads: 1,2,3 rødder

    n'te grads:

    Hvis

    n er lige: 0,1,…,n rødder

    n er ulige; 1,2,…n rødder

    1. gradspolynomier

    Grafen (kaldes en parabel)

    • Hvis så vender grenene opad
    • Hvis så vender grenene nedad
    • Jo større a er, jo mindre afstand er der mellem grenene
    • b er hældningen af tangenten i skæringspunktet med y-aksen, fordi

    Og

    • c er skæring på y-aksen, fordi
    • d er diskriminanten

    Toppunkt

    Formel

    Toppunkt er enten max eller minimumspunktet. Desuden er grafen symmetrisk omkring toppunktet.

    I kan evt. inddrage et eksempel

    Nu skal vi bevise

    I toppunktet er hældning af tangenten 0,

    Så vi løser

    nu har vi vist x-koordinaten, så skal vi finde y

    Vi indsætter i regneforskriften

    ganger ind

    sætter det hele på en brøk

    forlænger hele brøken med for at få fæller nævner

    sætter op på en brøk, pga. fælles nævner

    1. Funktioner og vækst

    Gør rede for eksponentiel udvikling. Du skal bl.a. komme ind på fremskrivningsfaktoren samt bevise formlerne til bestemmelse af og .

    Fortæl om titalslogaritmen og giv eksempel på anvendelse af regnereglerne for logaritmer, evt. bevis en regel

    Disposition:

    1. definition, regneforskrift, graf, betydning af a og b
    2. lidt om fremskrivningsfaktor
    3. bevis for formlerne til a og b
    4. generelt om og et bevis
    • , hvor
    • b er skæring på y-aksen, fordi

    (alt opløftet i 0 giver 1)

    • a er fremskrivningsfaktoren

    funktionen er voksende

    funktionen er aftagende

    • Vækstegenskab: til den absolutte tilvækst h på x-aksen hører den relative tilvækst på y-aksen. (alternativ formulering: når x vokser med det samme tal, så vokser/aftager y med samme procent)

    Eksempler på vækstegenskab

    Når x vokser med 1 så vokser y med 3 %

    Vækstformel:

    Dvs. hvis x vokser med 4 så vokser y med:

    dvs. 12,6 %

    Relativ tilvækst = procentvis tilvækst

    Absolut tilvækst = det samme tal

    Bevis vækstegenskab

    Vi husker at

    Vi har et punkt og vi lægger h til x så får vi punktet nu udregner vi fremskrivningsfaktoren

    Dvs. vækstraten , da vi finder procenten ved at trække 1 fra fremskrivningsfaktoren

    Bevis for a og b

    og

    Vi har to punkter som ligger på vores graf

    Dem indsætter vi i regneforskriften

    Vi divider ligningerne

    her går b ud med hinanden, og vi har tilbage

    nu skal jeg bruge potensregnereglen

    og jeg skal ha a til at stå alene, det gøres ved at tage kvadratroden

    Nu kan vi vælge en af at isoler b enten i eller

    Titalslogartimen

    er den omvendte funktion til

    X0123
    1101001000
    X1101001000
    0123

    At og er omvendte funktioner, betyder

    og

    Logaritmeregler

    Bevis:

    1. vi ved at

    så anvender jeg

    1. vi på tilsvarende vis
    2. (det ved vi)

    vi bruger

    1. Funktioner og vækst

    Gør rede for eksponentiel udvikling. Bevis formlen for fordoblings- eller halveringskonstant.

    Kom ind på den naturlige eksponentialfunktion

    Inddrag dit projekt i funktionstyper og regression i forbindelse med den eksponentielle vækstegenskab.

    Vi bruger næsten samme disposition som i forrige spørgsmål.

    , hvor

    • b er skæring på y-aksen, fordi

    (alt opløftet i 0 giver 1)

    • a er fremskrivningsfaktoren

    funktionen er voksende

    funktionen er aftagende

    Vækstegenskab: til den absolutte tilvækst h på x-aksen hører den relative tilvækst på y-aksen. (alternativ formulering: når x vokser med det samme tal, så vokser/aftager y med samme procent)

    Eksempler på vækstegenskab

    Når x vokser med 1 så vokser y med 3 %

    Vækstformel:

    Dvs. hvis x vokser med 4 så vokser y med:

    dvs. 12,6 %

    Relativ tilvækst = procentvis tilvækst

    Absolut tilvækst = det samme tal

    Bevis vækstegenskab

    Vi husker at

    Vi har et punkt og vi lægger h til x så får vi punktet nu udregner vi fremskrivningsfaktoren

    Dvs. vækstraten , da vi finder procenten ved at trække 1 fra fremskrivningsfaktoren

    Fordoblingskonstanten

    er den afstand på x-aksen som svarer til en fordobling af y-værdien

    Formlen er

    Bevis:

    Vi ved at (0,b) er et punkt på grafen, så er også et punkt,

    Så indsætter vi punktet ind i regneforskriften

    her går b ud med hinanden

    nu skal jeg have det ned, vha. log

    (bruger reglen )

    Halveringskonstanten bevises på tilsvarende vis

    Formlen er

    Men laver kun et bevis, men hvis der er tid så kan i vælge det.

    Eksponentielle modeller

    Eksempel: afkøling af vand

    x/minTemperatury/temperaturforskel (rummets temperatur var
    09777
    29171
    48767
    68464

    Opgave: undersøg om sammenhængen er eksponentiel àligger p

    Punkterne på en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Og dernæst bestem regneforskriften.

    Tegn selv grafen på enkeltlogaritmisk koordinat

    Naturlig eksponentialfunktion

    Funktionen kaldesen eksponentialfunktion, hvis . hvis der også gælder at , hvor er Eulers konstant, og tallet er 2,7182…, så kalder vi for den naturlige eksponentialfunktion

    Det specielle ved denne funktion er at altså differentier man får man det den egen afledede.

    Vi kan skrive funktionen på formen fordi dvs.

    Dermed

    Eksempel:

    Vi har funktionen

    Fordi

    Omvendt er

    Og sådan kan man regne tilbage til den 'sædvanlige' regneforskrift

    Differentiation af

    Dvs.

    Er voksende, hvis da er positiv og tilsvarende aftagende hvis .

    1. Funktioner og vækst

    Gør rede for potensfunktionen .

    Du skal bevise formlerne til bestemmelse af og . Du skal komme ind på vækstegenskaber og potensmodeller fra dit projekt i funktionstyper og regression.

    Potensfunktion hvilket betyder, at grafen kun er placeret i 1.kvadrant.

    Det er udelukkende a der bestemmer om grafen er aftagende eller voksende, så der gælder:

    Hvis

    Hvis

    Hvis altså hvis a ligger mellem 0 og 1 er den voksende, men langsom.

    Som det ses er b skæringen med den lodrette linje . Så den er ikke en rigtig begyndelsesværdi, som ved den rette linje og eksponentielle udviklinger, og er derfor ikke lige så vigtig her.
    Man kan også bare formulere det simpelt som at b er y-værdien, når

    Fordi

    Grafen er en ret linje i dobbeltlogaritmiske koordinatsystem

    Formlerne til a og b

    og

    Bevis:

    Vi sætter punkterne i regneforskriften:

    Vi divider de to ligninger med hinanden og får

    Her går b'erne ud med hinanden, og vi har så

    Så sætter vi a udenfor en parentes

    Nu skal jeg logge a ned

    Så skal vi bar isoler a

    Bevis for b

    Jeg skal isoler b i en af de to ovenstående ligninger, jeg vælger den første

    Vækstegenskab

    Hvis x vokser med en fast procent så vokser/aftager y også med en fast procent

    Formel

    Bevis:

    Vi lader være et punkt på grafen, dvs.

    Vi lægger en procent til x (husk at )

    Potensmodeller

    Eksempel

    x/snor længde7,418273857
    y/svingningstiden0,71,01,21,41,6

    Vi skal gøre to ting:

    Undersøge om sammenhængen er potensiel (vi ser om punkterne ligger på en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, og bestemme regneforskriften ved aflæsning af to punkter.

    Hvis I ikke kan finde noget dobbeltlogaritmisk papir, så lav regression og forklar ud fra

    1. Funktioner og vækst

    Fortæl om lineære funktioner. Du skal bevise formlen til bestemmelse af og b

    Kom desuden ind på den lineære vækstegenskab og lineære modeller, her skal du inddrage dit projekt i funktionstyper og regression.

    Kom ind på tangent til en differentiabel funktion

    er skæring på y-aksen, fordi

    er hældningskoefficienten

    Grafen er en ret linje i et almindeligt koordinatsystem

    Bevis for

    Vi har to punkter på grafen dem sætter vi ind i regneforskriften

    Vi trækker ligningerne fra hinanden

    Vi regner parenteser ud

    Så går b ud med hinanden og vi har

    Så sætter vi udenfor en parentes

    Vi divider med på begge sider, og får

    Og vi finder ud fra ligningen

    Vækstegenskab

    Eksempel:

    Hvis x vokser med 1 så aftager y med 2, og 3 er vores begyndelsesværdi

    Generelt:

    Hvis x vokser med så vokser/aftager y med

    Bevis:

    er et punkt på grafen, dvs.

    Vi lader x vokse med og udregner

    Nu er y-tilvæksten

    Nogle gang skrives det også

    Tangentligningen

    Bevis

    Vi vil finde tangentens ligning i vi lader være et punkt på tangenten. Vi indsætter det i formlen

    A er hældningen af tangenten, dvs.

    Dermed får vi

    10. Differentialregning

    Gør rede for begrebet differentialkvotient og udled differentialkvotienten for

    Gør rede for tangentligningen.

    Differentiabilitet:

    En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende, dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri, at en differentiabel funktion altid være kontinuitet. Sagt på en anden måde er en funktion differentiabel, hvis dens graf har en tangent i ethvert punkt. En tangent som følger kurven tæt i en lille omegn omkring røringspunktet. At grafen har en tangent i punkt P med x- værdien , udtrykker man ved sige, at funktionen er differentiabel i .

    Differentialregning handler altså om funktioners væksthastighed. Man er interesseret i at måle, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i bestemte punkter, dvs. man vil finde grafens 'hældning' i punkter, det gøres ved at 'måle' hældningen af tangenten i det pågældende punkt.

    Forskellige navne på differentialkvotient

    Differentialkvotient

    Den afledende funktion

    Tangenthældning

    (vækst)hastighed

    Sådan må graferne ikke se ud

    Funktionen er differentiabel i hvis sekantens hældning

    Har en grænseværdi for h gående mod o.

    Hvis funktionen er differentiabel i så kaldes det tal sekantens hældning nærmer sig, for differentialkvotienten i (tangentens hældning)

    3 trinsreglen:

    1. bestem og tilvæksten
    2. bestem hældningen af sekanten
    3. bestem hældningen af tangenten

    sætning: er differentiabel og

    bevis:

    vi bruger tretrinsreglen

    trin 1:

    Trin 2 sekantens hældning

    Trin 3 tangentens hældning

    Dermed er vi færdige

    Sætning: er differentiabel og (I behøver nødvendigvis ikke tage den med)

    Bevis: (anvender tretrinsreglen)

    Trin 1

    Trin 2

    Trin 3

    Tangentligningen

    Bevis

    Vi vil finde tangentens ligning i vi lader være et punkt på tangenten. Vi indsætter det i formlen

    A er hældningen af tangenten, dvs.

    Dermed får vi

    1. Differentialregning

    Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en differentiabel funktion og fortegnet for .

    Kom ind på anvendelse af differentialregning, giv eksempler på anvendelser af differentialregning i modeller / opgaver vi har arbejdet med.

    Differentiabilitet:

    En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende, dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri, at en differentiabel funktion altid være kontinuitet. Sagt på en anden måde er en funktion differentiabel, hvis dens graf har en tangent i ethvert punkt. En tangent som følger kurven tæt i en lille omegn omkring røringspunktet. At grafen har en tangent i punkt P med x- værdien , udtrykker man ved sige, at funktionen er differentiabel i .

    Differentialregning handler altså om funktioners væksthastighed. Man er interesseret i at måle, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i bestemte punkter, dvs. man vil finde grafens 'hældning' i punkter, det gøres ved at 'måle' hældningen af tangenten i det pågældende punkt.

    Forskellige navne på differentialkvotient

    Differentialkvotient

    Den afledende funktion

    Tangenthældning

    (vækst)hastighed

    Sådan må graferne ikke se ud

    Funktionen er differentiabel i hvis sekantens hældning

    Har en grænseværdi for h gående mod o.

    Hvis funktionen er differentiabel i så kaldes det tal sekantens hældning nærmer sig, for differentialkvotienten i (tangentens hældning)

    3 trinsreglen:

    1. bestem og tilvæksten
    2. bestem hældningen af sekanten
    3. bestem hældningen af tangenten

    Betydning af fortegn for

    Hvis i intervallet så er grafen voksende i

    Hvis i intervallet så er grafen aftagende i

    Hvis i intervallet så er grafen konstant i (her er tale om maksimum eller minimum)

    Bestemmelse af ekstrempunkter

    Man kan bruge til at finde ekstrempunkter

    Bestemmelse af monotoniforhold

    Først skal en funktion differentieres

    Vi undersøger, hvor hældningen af tangenten er 0, altså hvor er der ekstrempunkt(er)

    Vi har nu ekstrempunkter ved , nu skal vi undersøge hældningen før , imellem og efter .

    Vi undersøger hældning af tangenten før :

    Vi undersøger hældningen af tangenten mellem :

    Vi undersøger hældningen af tangenten efter :

    Vi ved nu der er ekstremer hvor , samt hældningen af tangenten før, mellem og efter . Men de informationer kan vi skitsere grafen

    Optemering:

    Vi forestiller os et stykke papir som vi skal folde til en æske uden låg. Vi folder stykket x op, se figuren:

     

    Vi vil gerne bestemme stykket x så volumen af kassen bliver størst mulig. Vi bestemmer først et udtryk for volumen:

    Vi vil bestemme x så volumen bliver størst mulig (bestem max). Vi finder først ud af hvor der er vandret tangent:

    Så skal vi løse ligningen

    Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

    x kan ikke være 22,4 da der kun er 40 cm i alt i længden. Tegner vi grafen for V(x) så ser vi at der er max når x=7,4.

    Integralregning, stamfunktioner og arealer.

    Disse er kun noter, og IKKE disposition. Der er meget omring emnet i dette notesæt, man vælger selvfølgelig, det som passer ind til spørgsmålet som jeres lærer har stillet. Jeg mener ikke, at det sidste bevis er nødvendig. Men spørg jeres lærere om det.

    Integralregning er det omvendte af differentialregning.

    I differentialregning finder vi den afledede funktion til en funktion , hvor i integralregning finder vi stamfunktionen til en funktion .

    IntegraletFunktionDifferentialet
    Eksempel:

     

    Eksempel

    Bestem en stamfunktion til

    Vi skal tjekke, om vi har lavet det rigtigt

    Metoden kaldes for integrationsprøven

    Definition på stamfunktion

    er en stamfunktion til hvis

    Bestemmelse af k (konstant)

    Hvis vi tager udgangspunkt fra ovenstående eksempel: her er k skæring med y-aksen. For at bestemme k, skal vi kende et punkt på grafen, det kunne være

    Dermed bliver stamfunktionen

    Når vi skal udregne et ubestemt integrale, skal vi bestemme en stamfunktion:

    Tabel med funktioner og stamfunktioner

     
    1.    
    2.    
    3.    
    4.    

    Bevis for nr. 1

    Bevis for nr. 2

    Bestemte integraler

    Definition

    Eksempel

    Som vi kan se, er k overflødig i bestemte integraler

    Indskudsreglen

    Bevis

    Regneregler for bestemte integraler

    Jeg vil bevise følgende tre regler

    Hvis f og g er kontinuerte funktioner i er

    Bevis

    Regel nr. 1 og 2 siger, at man kan foretage en ledvis integration. Den tredje regel siger, at man kan sætte konstanten udenfor integralet.

    Bevis nr. 1

    F og G er stamfunktioner til f og g, og at er stamfunktion til vi udregner højre og venstre side hver for sig

    Venstre side:

    Højre side:

    Bevis nr.2

    F og G er stamfunktioner til f og g, og at er stamfunktion til vi udregner højre og venstre side hver for sig

    Venstre side:

    Højre side:

    Bevis nr. 3

    Det gælder at, hvis F er stamfunktion til f, så er stamfunktion til . Her udregnes siderne også hvert for sig

    Venstre side:

    Højre side:

    Da venstre og højre side er ens, har vi dermed udført beviset

    Regneregler for ubestemte integraler

    De hænger tæt sammen med regler fra differentialregningen.

    Der gælder følgende, hvis f og g er kontinuerte funktioner med samme definitionsmængde gælder

    Bevis

    Regel nr. 1 og regel nr. 2 omtales som ledvis integration, mens den sidste handler om at sætte konstanten k udenfor integraltegnet.

    Bevis nr. 1

    Vi anvender integrationsprøven og differentier højre side af lighedstegnet. Det gør vi ved hjælp af sumreglen for differentiel:

    Dermed har vi vist reglen

    Bevis nr. 2

    Den bevises præcis på samme måde som bevis nr. 1

    Bevis nr. 3

    Vi skal her anvende integrationsprøven

    Vi har anvendt reglen om differentiation at produkt med en konstant faktor. Dermed har vi vist reglen

    Areal mellem grafer

    Først findes skæringspunkter mellem graferne

    Ligning løses vha. rodformlen.

    Hvad sker der, når grafen ligger under x-aksen?

    Det bestemte integral giver et negativt tal, når grafen ligger under x-aksen

    Bevis for areal funktionen

    Se følgende link

    http://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/arealfunktioner.pdf

    eller denne video

    http://www.frividen.dk/logaritme/#Video5_Bevis_for_arealfunktionen

    13 Statistik

    Redegør for begreberne kumuleret frekvens, sumkurve, kvartilsæt og boxplot for et grupperet observationssæt.

    Kom ind på normalfordeling og chi 2 test

    Du må gerne tage udgangspunkt i et relevant talmateriale.

    Grupperede observationer

    At et datasæt eller observationssæt er grupperet betyder at det er inddelt i intervaller. Vi ser på et eksempel med skostørrelser eller højde

    SkostørrelseHyppighedFrekvensSummeret frekvens
    34-3622 / 50 = 4%4%
    36-38816%4%+16%=20%
    38-401326%20%+26%=46%
    40-422142%88%
    42-44612%100%
    sum50100%

    Først ser vi på hvordan frekvensen er beregnet. Der er 50 adspurgte i alt og i det første interval er der 2. Frekvensen udregnes derfor som:

    Den summerede (eller kumulerede) frekvens fås ved at lægge frekvenserne sammen.

    Fortolkning af tabellen

    Vi ser på rækken, hvor intervallet er 38-40. I dette interval ligger alle som har en skostørrelse fra 38 til og med 40. Dvs. bruger man en størrelse 40 ligger man i dette interval men bruger man 38 er man i 36-38. Matematisk skrives intervallet altså som ]38; 40].

    Ved hyppigheden står der 13. Det betyder at 13 ud af de 50 adspurgte har en skostørrelse på 38-40. Frekvensen er 26%, dvs. 26% har en skostørrelse på 38-40. Endelig er den summerede frekvens 46%, dvs. 46% har en skostørrelse på 40 eller derunder. Læg mærke til at den summerede frekvens på denne måde hører sammen med intervalendepunktet.

    Sumkurve

    Sumkurven er en graf over intervalendepunkterne og de summerede frekvenser. Her skal vi afsætte punkterne

    340
    364
    3820
    4046
    4288
    44100

    Punkterne forbindes med rette linjer (fordi vi antager observationerne er jævnt fordelt i intervallerne) så vi får følgende kurve

    Kvartilsæt 

    Kvartilsættet aflæses på sumkurven. Nedre kvartil eller første kvartil aflæses ud for 25%. Herfra går vi hen indtil vi rammer grafen og aflæser så x-værdien.

    Tilsvarende aflæses medianen (2. kvartil) ved 50% og øvre kvartil (3. kvartil) ved 75%.

    Her er kvartilsættet aflæst til:

    1. kvartil:38,5

    Median:40,2

    1. kvartil: 41,5

    At 3. kvartil er 41,5 betyder, at 75% har en skostørrelse på 41,5 eller derunder.

    Boksplot

    Anvendes typisk til at sammenligne med et andet observationssæt.

    Man skal bruge kvartilsættet samt største og mindste værdi, for at kunne tegne den

    Middeltal

    Vi kan ikke lave en beregning af middeltallet eller gennemsnittet som vi kan være sikre på er korrekt. I ovenstående eksempel ved vi f.eks. ikke hvilken skostørrelse de to i intervallet 34-36 har. Derfor antager vi at observationerne er jævnt fordelt i intervallerne. Så har de to personer i intervallet 34-36 i gennemsnit en skostørrelse på 35, personer i intervallet 36-38 har en på 37 osv. Derfor er der i udregningen af middeltallet 2 personer med en skostørrelse på 35, 8 med en skostørrelse på 37 osv. Vi lægger alle skostørrelserne sammen og dividerer med det totale antal personer:

    Middeltallet kan også beregnes vha. frekvenserne, som følgende udregning viser:

    hvor er midtpunktet af det første interval og er frekvensen for det første interval, osv.

    Spredning og varians

    Spredningen er et tal som fortæller noget om, hvor langt observationerne ligger fra middeltallet. For at beregne spredningen skal vi først beregne variansen. Vi kalder antallet af intervaller for og formlen er så:

    Og spredningen s er .

    I dette tilfælde får vi tallene

    Ingen relaterede artikler.

    Skrevet i: Kompendier

    Skriv et svar Annuller svar

    Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *

    Skoleanalyser.dk er en reklamefinansieret side, der indeholder affiliate links og annonce artikler.

    Alexanderleo.dk
    Snydbookmakerne.dk
    Festivaltips.dk

    Danders&More

    Copyright © 2023 · News Pro Theme til Genesis Framework · WordPress · Log ind

    Skoleanalyser.dk bruger cookies. Ved at bruge vores side accepterer du brugen af cookies. Denne information deles med tredjepartOK Reject Læs mere
    Privacy & Cookies Policy

    Privacy Overview

    This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may affect your browsing experience.
    Necessary
    Altid aktiveret
    Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.
    Non-necessary
    Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.
    GEM & ACCEPTÈR