Gratis noter til Matematik B STX

1. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus. Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.

Giv eksempel på brug i geometriprojekt

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

Enhedscirklen:

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

Sinus og cosinus i enhedscirklen:

Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

Altså må der gælde, pga. ovenstående

Vi kan mere generelt sige

Dvs. ligningen har to løsninger

Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

Altså må der gælde

Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

Sinusrelationen

Vi skal bevise

Relationen skrives også

For at bevise det, vil jeg starte med at bevise Areal formlen.

Bevis Areal formlen

Dette kan bevises på to forskellige måder, den ene, hvor højden h falder ind i trekanten (den nemme), og den anden, hvor højden falder udenfor trekanten (den sværere). Og man beviser selvfølgelig kun den ene af dem.

Bevis, den hvor højden falder udenfor

Vi ser på nedenstående trekant, vor højden falder udenfor:

Vi ved fra tidligere, at og at

Fra areal formlen af en retvinklet trekant ved vi, at arealet kan skrives , her er b vores grundlinje, og dermed finder vi et udtryk for højden

Da

Dermed indsætter jeg ind på h's plads i formlen og får

Tilsvarende måde kan vi bevise disse

Bevis for sinusrelationen

Da vi ved at arealet for vilkårlig trekanter kan skrives således

Da alle tre ligninger er lig A, kan vi sætte dem lig med hinanden¨

Jeg ganger med 2, så forsvinder

Så divider jeg med

Dermed er vi færdig med beviset, og vi har sinusrelationen

2. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus. Bevis cosinusrelationen.

Giv eksempel på anvendelse.

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

Enhedscirklen:

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

Sinus og cosinus i enhedscirklen:

Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

Altså må der gælde, pga. ovenstående

Vi kan mere generelt sige

Dvs. ligningen har to løsninger

Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

Altså må der gælde

Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

Cosinus relationen

Vi skal bevise

Bemærk, cosinusrelationen bliver til Pythagoras' sætning hvis fordi (aflæses på enhedscirklen)derfor kaldes den for udvidet Pythagoras sætning

Vi deler trekanten linjestykke b op i to, det ene har længden x, og det andet får så længden

Her skal vi anvende Pythagoras samt formlen

Starter med at anvende Pythagoras

I trekant , her skal vi så isolere h, så der står

tilsvarende vis gøres det med den anden trekant

i trekant , her skal vi isolere h, så der står

Nu står der ved begge ligninger, derfor må jeg gerne sætte dem lig hinanden

Nu vil jeg have på den ene side, så flytter jeg på den anden side

Men først udregner jeg kvadrat sætningen

De to går ud med hinanden, tilbage har vi

Nu skal vi finde et udtryk for x

Vi får fra trekanten, at

Det indsætter jeg i stedet for x i ligningen og får dermed cosinusrelationen

3. Trigonometri

Vis følgende: at vinkelsummen i en trekant er 180 grader samt Pythagoras sætning

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus, samt sinus og cosinus formlerne i retvinklede trekanter.

Kom til sidst ind på vilkårlige trekanter.

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus:

Enhedscirklen:

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Vi tegner en vinkel fra x-aksen og op, denne vil skære enhedscirklen i et punkt hvor x-koordinaten er og y-koordinaten er :

Cos(v) aflæses på x-aksen, og sin(v) aflæses på y-aksen.

Sinus og cosinus i enhedscirklen:

Vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor vinkel er

Vi aflæser sinus til vinklen (ved 1. kvadrat aflæst på y-aksen) og får

Vi aflæser også modsat (ved 2. kvadrat) i enhedscirklen og får

Altså må der gælde, pga. ovenstående

Vi kan mere generelt sige

Dvs. ligningen har to løsninger

Med cosinus får vi (ved 1. kvadrant, aflæst på x-aksen)

Igen aflæser vi (ved 2. kvadrant, ved aflæsning på x-aksen)

Altså må der gælde

Disse oplysninger skal senere bruges i beviserne til sinus og cosinus relationerne.

Vinkelsummen i en trekant

Topvinkler

Topvinkler dannes når to linjer skærer hinanden, det er vinklerne som ligger overfor hinanden, f.eks. er u og w topvinkler. Der gælder at topvinkler er lige store.

Bevis

Topvinkler er lige store, u = w fordi:

Dvs. hvilket bliver til

(v'erne bliver fjernet, dette er tilladt så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet.)

Og nu tilbage til det man skal lave!

Vinkelsum, bevis (Det er her rigtigt vigtigt at lave en dræber god tegning)

U           V           W

B

Vi ser på trekanten ABC og laver en linje parallel med AC gennem B. Desuden forlænger vi linjestykkerne AB og CB så vi får ovenstående trekant. Vi ser at

Og vi vil nu vise at u, v og w er lige så store som C, B og A henholdsvis.

, fordi de er topvinkler

, fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

, fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

Dvs.

Pythagoras sætning

I retvinklede trekanter gælder Pythagoras' sætning , her er a og b de to kateter, og c er hypotenusen.

Bevis:

Vi tager trekanten og drejer den tre gange med 90 grader så vi får kvadratet vist på figuren

Vi udregner arealet af kvadratet. Hver af sider er så arealet er

1. A =

2. Vi kan også udregne det samlede areal som arealet af de fire trekanter plus arealet af det indre kvadret.

Arealet af en trekant er

Arealet af det indre kvadrat er c²

Begge udtryk giver jo arealet så de må være lig hinanden:

Så kan man trække 2ab på hver sin side er lighedstegnet så der kommer til at stå

Grunden til at den indre firkant er et kvadrat er, som vi tidligere har vist, at vinklerne til sammen skal være , derfor gælder der , samtidig ved vi også, at en lige linje skal være , derfor er , vi sætter dem lig hinanden får vi

De andre går ud med hinanden.

Formlerne for cosinus og sinus

Vi skal starte med at tegne en retvinklet trekant, kald det ABC fra enhedscirklen, da vi ved, at cosinus og sinus aflæses fra punktet p, danner vi dermed to ensvinklede trekanter, altså bliver vinkel .

Da begge trekanter er ensvinklede, og hypotenusen i trekant ABC er c, starter vi med at finde forstørrelsesfaktoren. Idet vi ved, at hypotenusen i den lille trekant er 1 (enhedscirklen). Altså der skal findes forstørrelsesfaktor med trekant ABC og APQ.

Dermed bliver forstørrelsesfaktoren

(vi skal ende med, at have to trekanter)

Nu har vi forstørrelsesfaktoren c, og den kan vi bruge til at finde andre sider

Isoler sinus, og får

Og jeg finder siden b tilsvarende vis

Isoler cosinus, og får

4. Polynomier

Gør rede for kvadratsætningerne (parentesreglerne).

Kom ind på antallet af rødder i andengradspolynomiet

Hvordan man finder rødderne og deres betydning for grafens beliggenhed.

Polynomier:

1.grads polynomium

2.grads polynomium

3.grads polynomium

n'te grads polynomium

antallet af rødder (skæring med x-aksen)

2. gradspolynomier

Grafen (kaldes en parabel)

• Hvis så vender grenene opad
• Hvis så vender grenene nedad
• Jo større a er, jo mindre afstand er der mellem grenene
• b er hældningen af tangenten i skæringspunktet med y-aksen, fordi

Og

• c er skæring på y-aksen, fordi
• d er diskriminanten

ganger med på hvert led

ligger til begge sider

så trækker man fra begge sider

så bruger jeg 1. kvartsætning, vi har også anvendt som eksempel, og det der står på venstre side af ligningen er d

Nu er der3 muligheders

1. så er der ingen løsnng, fordi altid er nul eller positiv

(tager kvadratroden)

og det passer med formlen

5. Polynomier

Gør rede for andengradspolynomiets graf og bevis toppunktsformlen.

Gør rede for konstanterne a, b, c og d's betydning for grafen og den toppunkt og evt. nulpunkter.

Polynomier:

1.grads polynomium

2.grads polynomium

3.grads polynomium

n'te grads polynomium

antallet af rødder (skæring med x-aksen)

2. gradspolynomier

Grafen (kaldes en parabel)

• Hvis så vender grenene opad
• Hvis så vender grenene nedad
• Jo større a er, jo mindre afstand er der mellem grenene
• b er hældningen af tangenten i skæringspunktet med y-aksen, fordi

Og

• c er skæring på y-aksen, fordi
• d er diskriminanten

Toppunkt

Formel

Toppunkt er enten max eller minimumspunktet. Desuden er grafen symmetrisk omkring toppunktet.

I kan evt. inddrage et eksempel

Nu skal vi bevise

I toppunktet er hældning af tangenten 0,

Så vi løser

nu har vi vist x-koordinaten, så skal vi finde y

Vi indsætter i regneforskriften

ganger ind

sætter det hele på en brøk

forlænger hele brøken med for at få fæller nævner

sætter op på en brøk, pga. fælles nævner

6. Funktioner og vækst

Gør rede for eksponentiel udvikling. Du skal bl.a. komme ind på fremskrivningsfaktoren samt bevise formlerne til bestemmelse af og .

Fortæl om titalslogaritmen og giv eksempel på anvendelse af regnereglerne for logaritmer, evt. bevis en regel

Disposition:

1. definition, regneforskrift, graf, betydning af a og b
2. lidt om fremskrivningsfaktor
3. bevis for formlerne til a og b
4. generelt om og et bevis

• , hvor
• b er skæring på y-aksen, fordi

(alt opløftet i 0 giver 1)

• a er fremskrivningsfaktoren

funktionen er voksende

funktionen er aftagende

• Vækstegenskab: til den absolutte tilvækst h på x-aksen hører den relative tilvækst på y-aksen. (alternativ formulering: når x vokser med det samme tal, så vokser/aftager y med samme procent)

Eksempler på vækstegenskab

Når x vokser med 1 så vokser y med 3 %

Vækstformel:

Dvs. hvis x vokser med 4 så vokser y med:

dvs. 12,6 %

Relativ tilvækst = procentvis tilvækst

Absolut tilvækst = det samme tal

Bevis vækstegenskab

Vi husker at

Vi har et punkt og vi lægger h til x så får vi punktet nu udregner vi fremskrivningsfaktoren

Dvs. vækstraten , da vi finder procenten ved at trække 1 fra fremskrivningsfaktoren

Bevis for a og b

og

Vi har to punkter som ligger på vores graf

Dem indsætter vi i regneforskriften

Vi divider ligningerne

her går b ud med hinanden, og vi har tilbage

nu skal jeg bruge potensregnereglen

og jeg skal ha a til at stå alene, det gøres ved at tage kvadratroden

Nu kan vi vælge en af at isoler b enten i eller

Titalslogartimen

er den omvendte funktion til

At og er omvendte funktioner, betyder

og

Logaritmeregler

Bevis:

1. vi ved at

så anvender jeg

2. vi på tilsvarende vis
3. (det ved vi)

vi bruger

7. Funktioner og vækst

Gør rede for eksponentiel udvikling. Bevis formlen for fordoblings- eller halveringskonstant.

Kom ind på den naturlige eksponentialfunktion

Inddrag dit projekt i funktionstyper og regression i forbindelse med den eksponentielle vækstegenskab.

Vi bruger næsten samme disposition som i forrige spørgsmål.

, hvor

• b er skæring på y-aksen, fordi

(alt opløftet i 0 giver 1)

• a er fremskrivningsfaktoren

funktionen er voksende

funktionen er aftagende

Vækstegenskab: til den absolutte tilvækst h på x-aksen hører den relative tilvækst på y-aksen. (alternativ formulering: når x vokser med det samme tal, så vokser/aftager y med samme procent)

Eksempler på vækstegenskab

Når x vokser med 1 så vokser y med 3 %

Vækstformel:

Dvs. hvis x vokser med 4 så vokser y med:

dvs. 12,6 %

Relativ tilvækst = procentvis tilvækst

Absolut tilvækst = det samme tal

Bevis vækstegenskab

Vi husker at

Vi har et punkt og vi lægger h til x så får vi punktet nu udregner vi fremskrivningsfaktoren

Dvs. vækstraten , da vi finder procenten ved at trække 1 fra fremskrivningsfaktoren

Fordoblingskonstanten

er den afstand på x-aksen som svarer til en fordobling af y-værdien

Formlen er

Bevis:

Vi ved at (0,b) er et punkt på grafen, så er også et punkt,

Så indsætter vi punktet ind i regneforskriften

her går b ud med hinanden

nu skal jeg have det ned, vha. log

(bruger reglen )

Halveringskonstanten bevises på tilsvarende vis

Formlen er

Men laver kun et bevis, men hvis der er tid så kan i vælge det.

Eksponentielle modeller

Eksempel: afkøling af vand

Opgave: undersøg om sammenhængen er eksponentiel àligger p

Punkterne på en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Og dernæst bestem regneforskriften.

Tegn selv grafen på enkeltlogaritmisk koordinat

Naturlig eksponentialfunktion

Funktionen kaldesen eksponentialfunktion, hvis . hvis der også gælder at , hvor er Eulers konstant, og tallet er 2,7182…, så kalder vi for den naturlige eksponentialfunktion

Det specielle ved denne funktion er at altså differentier man får man det den egen afledede.

Vi kan skrive funktionen på formen fordi dvs.

Dermed

Eksempel:

Vi har funktionen

Fordi

Omvendt er

Og sådan kan man regne tilbage til den 'sædvanlige' regneforskrift

Differentiation af

Dvs.

Er voksende, hvis da er positiv og tilsvarende aftagende hvis .

8. Funktioner og vækst

Gør rede for potensfunktionen .

Du skal bevise formlerne til bestemmelse af og . Du skal komme ind på vækstegenskaber og potensmodeller fra dit projekt i funktionstyper og regression.

Potensfunktion hvilket betyder, at grafen kun er placeret i 1.kvadrant.

Det er udelukkende a der bestemmer om grafen er aftagende eller voksende, så der gælder:

Hvis

Hvis

Hvis altså hvis a ligger mellem 0 og 1 er den voksende, men langsom.

Som det ses er b skæringen med den lodrette linje . Så den er ikke en rigtig begyndelsesværdi, som ved den rette linje og eksponentielle udviklinger, og er derfor ikke lige så vigtig her.
Man kan også bare formulere det simpelt som at b er y-værdien, når

Fordi

Grafen er en ret linje i dobbeltlogaritmiske koordinatsystem

Formlerne til a og b

og

Bevis:

Vi sætter punkterne i regneforskriften:

Vi divider de to ligninger med hinanden og får

Her går b'erne ud med hinanden, og vi har så

Så sætter vi a udenfor en parentes

Nu skal jeg logge a ned

Så skal vi bar isoler a

Bevis for b

Jeg skal isoler b i en af de to ovenstående ligninger, jeg vælger den første

Vækstegenskab

Hvis x vokser med en fast procent så vokser/aftager y også med en fast procent

Formel

Bevis:

Vi lader være et punkt på grafen, dvs.

Vi lægger en procent til x (husk at )

Potensmodeller

Eksempel

Vi skal gøre to ting:

Undersøge om sammenhængen er potensiel (vi ser om punkterne ligger på en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, og bestemme regneforskriften ved aflæsning af to punkter.

Hvis I ikke kan finde noget dobbeltlogaritmisk papir, så lav regression og forklar ud fra

9. Funktioner og vækst

Fortæl om lineære funktioner. Du skal bevise formlen til bestemmelse af og b

Kom desuden ind på den lineære vækstegenskab og lineære modeller, her skal du inddrage dit projekt i funktionstyper og regression.

Kom ind på tangent til en differentiabel funktion

er skæring på y-aksen, fordi

er hældningskoefficienten

Grafen er en ret linje i et almindeligt koordinatsystem

Bevis for

Vi har to punkter på grafen dem sætter vi ind i regneforskriften

Vi trækker ligningerne fra hinanden

Vi regner parenteser ud

Så går b ud med hinanden og vi har

Så sætter vi udenfor en parentes

Vi divider med på begge sider, og får

Og vi finder ud fra ligningen

Vækstegenskab

Eksempel:

Hvis x vokser med 1 så aftager y med 2, og 3 er vores begyndelsesværdi

Generelt:

Hvis x vokser med så vokser/aftager y med

Bevis:

er et punkt på grafen, dvs.

Vi lader x vokse med og udregner

Nu er y-tilvæksten

Nogle gang skrives det også

Tangentligningen

Bevis

Vi vil finde tangentens ligning i vi lader være et punkt på tangenten. Vi indsætter det i formlen

A er hældningen af tangenten, dvs.

Dermed får vi

10. Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient og udled differentialkvotienten for

Gør rede for tangentligningen.

Differentiabilitet:

En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende, dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri, at en differentiabel funktion altid være kontinuitet. Sagt på en anden måde er en funktion differentiabel, hvis dens graf har en tangent i ethvert punkt. En tangent som følger kurven tæt i en lille omegn omkring røringspunktet. At grafen har en tangent i punkt P med x- værdien , udtrykker man ved sige, at funktionen er differentiabel i .

Differentialregning handler altså om funktioners væksthastighed. Man er interesseret i at måle, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i bestemte punkter, dvs. man vil finde grafens 'hældning' i punkter, det gøres ved at 'måle' hældningen af tangenten i det pågældende punkt.

Forskellige navne på differentialkvotient

Differentialkvotient

Den afledende funktion

Tangenthældning

(vækst)hastighed

Sådan må graferne ikke se ud

Funktionen er differentiabel i hvis sekantens hældning

Har en grænseværdi for h gående mod o.

Hvis funktionen er differentiabel i så kaldes det tal sekantens hældning nærmer sig, for differentialkvotienten i (tangentens hældning)

3 trinsreglen:

1. bestem og tilvæksten
2. bestem hældningen af sekanten
3. bestem hældningen af tangenten

sætning: er differentiabel og

bevis:

vi bruger tretrinsreglen

trin 1:

Trin 2 sekantens hældning

Trin 3 tangentens hældning

Dermed er vi færdige

Sætning: er differentiabel og (I behøver nødvendigvis ikke tage den med)

Bevis: (anvender tretrinsreglen)

Trin 1

Trin 2

Trin 3

Tangentligningen

Bevis

Vi vil finde tangentens ligning i vi lader være et punkt på tangenten. Vi indsætter det i formlen

A er hældningen af tangenten, dvs.

Dermed får vi

11. Differentialregning

Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en differentiabel funktion og fortegnet for .

Kom ind på anvendelse af differentialregning, giv eksempler på anvendelser af differentialregning i modeller / opgaver vi har arbejdet med.

Differentiabilitet:

En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende, dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri, at en differentiabel funktion altid være kontinuitet. Sagt på en anden måde er en funktion differentiabel, hvis dens graf har en tangent i ethvert punkt. En tangent som følger kurven tæt i en lille omegn omkring røringspunktet. At grafen har en tangent i punkt P med x- værdien , udtrykker man ved sige, at funktionen er differentiabel i .

Differentialregning handler altså om funktioners væksthastighed. Man er interesseret i at måle, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i bestemte punkter, dvs. man vil finde grafens 'hældning' i punkter, det gøres ved at 'måle' hældningen af tangenten i det pågældende punkt.

Forskellige navne på differentialkvotient

Differentialkvotient

Den afledende funktion

Tangenthældning

(vækst)hastighed

Sådan må graferne ikke se ud

Funktionen er differentiabel i hvis sekantens hældning

Har en grænseværdi for h gående mod o.

Hvis funktionen er differentiabel i så kaldes det tal sekantens hældning nærmer sig, for differentialkvotienten i (tangentens hældning)

3 trinsreglen:

1. bestem og tilvæksten
2. bestem hældningen af sekanten
3. bestem hældningen af tangenten

Betydning af fortegn for

Hvis i intervallet så er grafen voksende i

Hvis i intervallet så er grafen aftagende i

Hvis i intervallet så er grafen konstant i (her er tale om maksimum eller minimum)

Bestemmelse af ekstrempunkter

Man kan bruge til at finde ekstrempunkter

Bestemmelse af monotoniforhold

Først skal en funktion differentieres

Vi undersøger, hvor hældningen af tangenten er 0, altså hvor er der ekstrempunkt(er)

Vi har nu ekstrempunkter ved , nu skal vi undersøge hældningen før , imellem og efter .

Vi undersøger hældning af tangenten før :

Vi undersøger hældningen af tangenten mellem :

Vi undersøger hældningen af tangenten efter :

Vi ved nu der er ekstremer hvor , samt hældningen af tangenten før, mellem og efter . Men de informationer kan vi skitsere grafen

Optemering:

Vi forestiller os et stykke papir som vi skal folde til en æske uden låg. Vi folder stykket x op, se figuren:

Vi vil gerne bestemme stykket x så volumen af kassen bliver størst mulig. Vi bestemmer først et udtryk for volumen:

Vi vil bestemme x så volumen bliver størst mulig (bestem max). Vi finder først ud af hvor der er vandret tangent:

Så skal vi løse ligningen

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x kan ikke være 22,4 da der kun er 40 cm i alt i længden. Tegner vi grafen for V(x) så ser vi at der er max når x=7,4.

Integralregning, stamfunktioner og arealer.

Disse er kun noter, og IKKE disposition. Der er meget omring emnet i dette notesæt, man vælger selvfølgelig, det som passer ind til spørgsmålet som jeres lærer har stillet. Jeg mener ikke, at det sidste bevis er nødvendig. Men spørg jeres lærere om det.

Integralregning er det omvendte af differentialregning.

I differentialregning finder vi den afledede funktion til en funktion , hvor i integralregning finder vi stamfunktionen til en funktion .

Eksempel

Bestem en stamfunktion til

Vi skal tjekke, om vi har lavet det rigtigt

Metoden kaldes for integrationsprøven

Definition på stamfunktion

er en stamfunktion til hvis

Bestemmelse af k (konstant)

Hvis vi tager udgangspunkt fra ovenstående eksempel: her er k skæring med y-aksen. For at bestemme k, skal vi kende et punkt på grafen, det kunne være

Dermed bliver stamfunktionen

Når vi skal udregne et ubestemt integrale, skal vi bestemme en stamfunktion:

Tabel med funktioner og stamfunktioner

Bevis for nr. 1

Bevis for nr. 2

Bestemte integraler

Definition

Eksempel

Som vi kan se, er k overflødig i bestemte integraler

Indskudsreglen

Bevis

Regneregler for bestemte integraler

Jeg vil bevise følgende tre regler

Hvis f og g er kontinuerte funktioner i er

Bevis

Regel nr. 1 og 2 siger, at man kan foretage en ledvis integration. Den tredje regel siger, at man kan sætte konstanten udenfor integralet.

Bevis nr. 1

F og G er stamfunktioner til f og g, og at er stamfunktion til vi udregner højre og venstre side hver for sig

Venstre side:

Højre side:

Bevis nr.2

F og G er stamfunktioner til f og g, og at er stamfunktion til vi udregner højre og venstre side hver for sig

Venstre side:

Højre side:

Bevis nr. 3

Det gælder at, hvis F er stamfunktion til f, så er stamfunktion til . Her udregnes siderne også hvert for sig

Venstre side:

Højre side:

Da venstre og højre side er ens, har vi dermed udført beviset

Regneregler for ubestemte integraler

De hænger tæt sammen med regler fra differentialregningen.

Der gælder følgende, hvis f og g er kontinuerte funktioner med samme definitionsmængde gælder

Bevis

Regel nr. 1 og regel nr. 2 omtales som ledvis integration, mens den sidste handler om at sætte konstanten k udenfor integraltegnet.

Bevis nr. 1

Vi anvender integrationsprøven og differentier højre side af lighedstegnet. Det gør vi ved hjælp af sumreglen for differentiel:

Dermed har vi vist reglen

Bevis nr. 2

Den bevises præcis på samme måde som bevis nr. 1

Bevis nr. 3

Vi skal her anvende integrationsprøven

Vi har anvendt reglen om differentiation at produkt med en konstant faktor. Dermed har vi vist reglen

Areal mellem grafer

Først findes skæringspunkter mellem graferne

Ligning løses vha. rodformlen.

Hvad sker der, når grafen ligger under x-aksen?

Det bestemte integral giver et negativt tal, når grafen ligger under x-aksen

Bevis for areal funktionen

Se følgende link

http://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/arealfunktioner.pdf

eller denne video

http://www.frividen.dk/logaritme/#Video5_Bevis_for_arealfunktionen

13 Statistik

Redegør for begreberne kumuleret frekvens, sumkurve, kvartilsæt og boxplot for et grupperet observationssæt.

Kom ind på normalfordeling og chi 2 test

Du må gerne tage udgangspunkt i et relevant talmateriale.

Grupperede observationer

At et datasæt eller observationssæt er grupperet betyder at det er inddelt i intervaller. Vi ser på et eksempel med skostørrelser eller højde

Først ser vi på hvordan frekvensen er beregnet. Der er 50 adspurgte i alt og i det første interval er der 2. Frekvensen udregnes derfor som:

Den summerede (eller kumulerede) frekvens fås ved at lægge frekvenserne sammen.

Fortolkning af tabellen

Vi ser på rækken, hvor intervallet er 38-40. I dette interval ligger alle som har en skostørrelse fra 38 til og med 40. Dvs. bruger man en størrelse 40 ligger man i dette interval men bruger man 38 er man i 36-38. Matematisk skrives intervallet altså som ]38; 40].

Ved hyppigheden står der 13. Det betyder at 13 ud af de 50 adspurgte har en skostørrelse på 38-40. Frekvensen er 26%, dvs. 26% har en skostørrelse på 38-40. Endelig er den summerede frekvens 46%, dvs. 46% har en skostørrelse på 40 eller derunder. Læg mærke til at den summerede frekvens på denne måde hører sammen med intervalendepunktet.

Sumkurve

Sumkurven er en graf over intervalendepunkterne og de summerede frekvenser. Her skal vi afsætte punkterne

Punkterne forbindes med rette linjer (fordi vi antager observationerne er jævnt fordelt i intervallerne) så vi får følgende kurve

Kvartilsæt 

Kvartilsættet aflæses på sumkurven. Nedre kvartil eller første kvartil aflæses ud for 25%. Herfra går vi hen indtil vi rammer grafen og aflæser så x-værdien.

Tilsvarende aflæses medianen (2. kvartil) ved 50% og øvre kvartil (3. kvartil) ved 75%.

Her er kvartilsættet aflæst til:

1. kvartil:38,5

Median:40,2

3. kvartil: 41,5

At 3. kvartil er 41,5 betyder, at 75% har en skostørrelse på 41,5 eller derunder.

Boksplot

Anvendes typisk til at sammenligne med et andet observationssæt.

Man skal bruge kvartilsættet samt største og mindste værdi, for at kunne tegne den

Middeltal

Vi kan ikke lave en beregning af middeltallet eller gennemsnittet som vi kan være sikre på er korrekt. I ovenstående eksempel ved vi f.eks. ikke hvilken skostørrelse de to i intervallet 34-36 har. Derfor antager vi at observationerne er jævnt fordelt i intervallerne. Så har de to personer i intervallet 34-36 i gennemsnit en skostørrelse på 35, personer i intervallet 36-38 har en på 37 osv. Derfor er der i udregningen af middeltallet 2 personer med en skostørrelse på 35, 8 med en skostørrelse på 37 osv. Vi lægger alle skostørrelserne sammen og dividerer med det totale antal personer:

Middeltallet kan også beregnes vha. frekvenserne, som følgende udregning viser:

hvor er midtpunktet af det første interval og er frekvensen for det første interval, osv.

Spredning og varians

Spredningen er et tal som fortæller noget om, hvor langt observationerne ligger fra middeltallet. For at beregne spredningen skal vi først beregne variansen. Vi kalder antallet af intervaller for og formlen er så:

Og spredningen s er .

I dette tilfælde får vi tallene