Gratis noter til Matematik C STX

1. Procent- og rentesregning

Redegør for begrebet fremskrivningsfaktor. Gør rede for formlen for kapitalfremskrivning og hvorledes konstanterne bestemmes. Gør også rede for gennemsnitlig procentvis rente.

Procent betyder hundrededele

Dvs.

Et eksempel med at lægge procent til

Læg 7 % til 300 :

En anden måde:

Generelt:

Tallet 1,07 kaldes for fremskrivningsfaktoren F

Et eksempel med at trække procent fra

7 % fra 300

Dvs. når vi lægger procent til / trækker fa, så ganger man bare med F.

Man kan se på F om det er en stigning eller fald

Større end 1 :

Mellem 0 og 1 :

Eksempel:

Hvordan lægges 7 % til to gange?

Generelt:

Kapitalfremskrivningsformlen:

              Antal terminer

Slutkapital          Startkapital         rentefod

Ovenstående formel er klar til at beregne slutkapitalen ,

Udledning af formel for:

Start med at skrive renteformlen op igen:
Vi vil isolere , så vi dividerer faktoren over på den anden

side:

Nu har vi isoleret , men kan lige bytte rundt på de 2 sider, så formlen
er klar til indsættelse:

Udledning af formel for :

Start igen med at skrive renteformlen op:
Vi vil isolere , så vi dividerer først over på den anden

side:

Nu er problemet at står inde i en parentes som er i n'te potens. Men da
n er kendt, kan vi bare tage den n'te rod på begge sider og dermed fjerne potensen:
Potensen er nu ophævet, og derfor er parentesen unødvendig. Til allersidst skal vi så bare flytte de +1, der bliver til −1 på den anden side:

Nu er isoleret, men igen kan vi lige bytte rundt på de 2 sider, så formlen er klar til indsættelse:

Læg mærke til den vigtige detalje, at de −1 står udenfor -tegnet!

Nu mangler vi kun at finde den færdige formel for n (antal terminer)

Udledning af formel for :

Start igen med at skrive renteformlen op:
Vi vil isolere , så vi dividerer først over på den anden

side:

Nu er problemet at står hævet som eksponent. Vi kan ikke tage den n'te rod, når vi ikke kender n! I stedet har vi brug for at få flyttet væk fra sin hævede position som eksponent. Det gør vi som bekendt ved hjælp af logaritmereglen, så vi starter med at tage log på begge sider:

Nu forklarer I så at logaritmereglen siger vi kan flytte ud på den anden side af log og gange med den:
Nu skal vi bare dividere faktoren over på den anden side:

Nu er isoleret, men som før kan vi lige bytte rundt på de 2 sider, så formlen er klar til indsættelse:

Beregning af :
'10.000 kr. sættes ind til 3,4 % i rente pr. år. Hvad står der efter 7 år?'.

Det er forhåbentligt klart, at I skal finde slutsaldoen , så I sætter bare direkte ind i grundformlen:

Husk at procenttallet skal divideres med 100 først!

Beregning af :
'Der står nu 26.000 kr. på en konto. De har stået til 2,7 % i rente gennem 8 år. Hvad blev der sat ind fra start?'. I bør kunne høre at det er der ønskes, og brug derfor den tidligere udledte formel:

Afrund altid til nærmeste øre i renteopgaver.

Beregning af :
'7.000 kr. er vokset til 9.600 kr. på 10 år. Hvad har den gennemsnitlige årlige rente været?'. I kan jo høre det er renten, der spørges til, så peg på den tidligere udledte formel og sæt ind:

Husk at oversætte resultatet til procent til sidst ved at gange med 100 (= rykke kommaet to pladser).

Beregning af :
'Du har 20.000 kr. og vil gerne spare op til 30.000 kr. Hvor lang tid tager det, hvis du kan få 4 % i rente pr. år? Her må det jo være n, der skal findes, da n står for antal terminer, og dermed hvor lang tid, der går:

Men det vil sige at det først er efter 11 år / den 11. rentetilskrivning, at der står mere end 30.000 kr.

Gennemsnitlig rente:

Hvad er den gennemsnitlige rente, hvis du har fået renterne 4 %, 11 % og 7 % tre år efter hinanden?

Svar:

Heraf ses at rækkefølgen af renterne er ligegyldige, da den rækkefølge man ganger sammen på er ligegyldig!

Sammenlign evt. svaret med det primitive gæt på: .

Man kommer altså tæt på med den primitive metode, men den er forkert! Og det rigtige svar er i øvrigt altid en smule lavere end det primitive svar.

Eksempel:

Omregning fra årlig til månedlig rente:

En størrelse vokser med 30 % på et år, den månedlige rente er:

Dvs. .

2. Procent og rentesregning

Redegør for, hvordan man lægger procent til eller trækker procent fra. Redegør for sammenhængen mellem rente og fremskrivningsfaktor. Fortæl desuden om indekstal, her må du gerne inddrage eksempler fra dit projekt i rentesregning.

At lægge procent til eller trække procent fra:

For at forklare dette vil det være naturligt først at forklare hvordan man bare tager procent af noget:

Eks.: Hvad er 17 % af 600?

1 % af 600

Men man har lov at bytte rundt på 17 og 600!

Altså tager man 17 % af noget ved at gange med 0,17!

(Hvis I synes de første ombytninger er for svære at forstå/huske, så bare start ved og forklar at man tager 17 % af noget ved at gange med 0,17).

Nu da vi har vist hvordan man tager % af noget kan vi gå videre til at lægge % til noget:

Eksempel: 14 % skal lægges oven i 800:

De 100 % fra start

+ 14 %             =>         114 % efter vi har lagt de 14 % oven i de 100 %.

Og efter det, er det let at forklare det modsatte: At trække procent fra:

Eks.: −12 % på 1100. (Svarer til 12 % rabat på et køb til 1100 kr.):

De 100 % fra start

−12 %         =>       88 % tilbage efter vi har fjernet 12 % fra de oprindelige 100 %

Redegør for sammenhængen mellem rentefod og fremskrivningsfaktor:

En god måde at svare på dette kan være at sammenligne renteformlen, med den normale måde at opskrive grundformlen for eksponentiel udvikling på. Dette spørgsmål er også relevant ved flere af de senere spørgsmål!

Heraf ses at:

svarer til slutsaldoen

= 'begyndelsesværdien' svarer til der jo er startsaldoen og dermed også 'begyndelsesværdi'.

svarer til antal terminer – dog med den lille forskel at normalt er et helt tal.

Endelig ses det at hvis det hele skal passe sammen må konstanten være lig med .

Men er jo netop fremskrivningsfaktoren for en eksponentiel udvikling, og derfor er den søgte sammenhæng:

fremskrivningsfaktoren                       rentefoden (eller vækstraten eller den relative tilvækst)

De 100 % vi har fra start

Fortæl om indekstal:

Igen er man næsten nødt til at tage udgangspunkt i et eksempel. Så start med at lave skelettet for et eksempel, men lad mig finde på nogle tal, så censor kan se det ikke er et eksempel I har lært udenad. Skitser noget der minder om nedenstående tabel, så vil jeg bagefter bede om at få lov til at vælge tallene under 'værdi' for jer. Det kunne f.eks. være:

Forklar at indekstal bruges til at lave en overskuelig sammenligning – ofte mellem forskellige tidsperioder (så derfor har I valgt årstal i øverste række). Samtidig har I så her vist at der ikke behøver at være samme afstand mellem årstallene. Nu vælger jeg så nogle tilfældige tal under 'Værdi' for jer:

Forklar så at Indekstal kan bruges til at gøre tallene under 'værdi' mere overskuelige. Lad os sige at vi vælger år 2000 som basisår (I kan senere vise at det ikke behøver at være det første år, der er basis!).

Nu forklarer I så hvordan sidste række udfyldes:

Forklar at pr. definition er I-tallet for basisåret 100. Endvidere har vi formlen:

Som et tjek kan man se at hvis man sætter værdien for basisåret ind øverst får man netop 100 som man jo skal få i basisåret.

Så udregner I Indekstallet for de to næste år:

(Det er nok at skrive den første udregning på tavlen!)

Afrund til max. 1 decimal, da I-tal skal være overskuelige! Vi har nu følgende tabel:

Nu kan man let se følgende stigninger:

2000    2003: + 25,2 %

2000    2005: + 39,8 %

MEN:

2003    2005: 139,8 − 125,2 = 14,6 % -point

Ved den sidste er det altså ikke ægte %, da vi ikke starter med 100 (basisårets værdi) som I-tal.

Hvordan finder vi så den ægte %? Der er to måder, og I skal mindst kunne den ene (men må gerne brillere med begge! J):

Metode 1: Sig vi kan bruge relativ tilvækst (der var en grund til at det var 1. delspørgsmål!):

(Vi kunne lige så godt have brugt I-tallene som slut og start (tjek det!), men da de er en smule afrundede har jeg her brugt tallene under 'Værdi' som slut og start).

I virkeligheden er stigningen altså kun på 11,6 % og ikke 14,6 %. Det skyldes at ændringen på de 14,6 i I-tal ikke er så stor i forhold til tallet 125,2, som hvis vi havde startet med tallet 100. Kun når vi starter med 100 (hvor 1 jo er lig med 1 % af tallet!), kan man direkte aflæse % -ændringen som forskellen mellem de to tal).

Metode 2: Vi kan ændre 2003 til at være basisåret (så det får indeks 100). Så kan vi udregne nyt I-tal for 2005, hvorefter vi igen direkte kan aflæse % -ændringen. Vi får:

De 111,6 er bare udregnet med standardformlen:

Hvilket passer med at en direkte aflæsning giver en ægte % -stigning på 11,6 % som ved metode 1.

3. Geometri og trekanter

Redegør for arealformlen og fortæl om ensvinklede trekanter. Giv desuden eksempler på anvendelse af sinusrelationen.

Arealformel:

For retvinklede trekanter gælder der

Så har vi ny arealformel der gælder for vilkårlige trekanter

Vi tager lig udgangspunkt i et eksempel

Bevis for formlen

Vi ved at

Vi ser at

Dvs. så har vi

I trekant BCH kan vi bruge sinus

og vi isoler h, og får

Vi indsætter

eller

Ensvinklede trekanter

Trekanterne er ensvinklede hvis vinklerne er parvis lige store

Beregning af forstørrelsesfaktoren

Eksempel ved brug af forstørrelsesfaktoren

(dvs. en stigning på 40 %)

Sinusrelationen:

I en vilkårlige trekant gælder:

Eksempel:

Vi skal bestemme vinkel B

Vi kan bruge sinusrelationen fordi vi kender et bogstavepar (A og a)

Dvs. vinkel B er 23,6

Bevis for sinusrelationen

Vi tegner højden fra B og får 2 retvinklede trekanter

Vi skal bruge

så isoler vi h og får

og isoler h igen og får

Da begge udtrykt er lig h, sætter vi dem sammen

Så divider vi med og får

4. Geometri og trekanter

Redegør for Pythagoras. Kom derefter ind på side- vinkelberegning i retvinklede trekanter ved hjælp af cosinus, sinus eller tangens

I en retvinklet trekant, hvor , gælder der:

Eksempel:

Eksempel:

Omvendt Pythagoras:

Hvis så er (trekanten er retvinklet)

Eksempel

Er trekant ABC retvinklet?

Dvs. trekanten er retvinklet

Sin, cos og tan:

Følgende gælder i retvinklede trekanter

Eksempel:

Vi skal bestemme vinkel A

Vi kender hyp. Og den modstående katete, så skal vi bruge sinus

Husk:

Eksempel:

Bestem p:

Bevis for Pythagoras

Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, så gælder der

Vi ser på trekanten i nedenstående figur.

Nu drejer vi trekanten og det gør vi tre gange så følgende kvadrat fremkommer.

Vi vil nu udregne arealet på to forskellige måder.

1. måde: Sidelængden af kvadratet er så vi får arealet af firkanten
2. måde: Vi kan også bestemme arealet ved at lægge arealet af de fire trekanter sammen med arealet af det lille kvadrat:

arealet af en retvinklet trekant findes ved formlen

De to arealer er lig med hinanden, så må vi sætte dem lig hinanden

Trækker vi fra på begge sider får vi Pythagoras' sætning

Dermed har vi vist Pythagoras sætningen, men dog mangler vi at vise, at det indre kvadrat, er en kvadrat.

Vi ved at

Og vi ved at

Det må betyde at

5. Variabelsammenhænge

Gør rede for ligefrem proportionalitet og for lineære funktioner. Giv eksempler på anvendelser heraf. Kom ind på dit projekt om x-y sammenhænge.

Ligefrem proportionalitet

Start med at definere ligningen:

(hvor både x, y og a er > 0)

a kaldes her for 'proportionalitetskonstanten', men det er stadig bare stigningstallet.

Grafisk udseende:

Sammenligner vi med den rette linie:                      (linje)

                                                            (proportionalitet)

ser vi at en prop. bare er en ret linje hvor b = 0.

Dvs. at prop. bare er en linje, der skærer y-aksen i 0 og derfor starter i punktet (0,0) (da både x og y jo er forlangt til at være større end 0 fra start)

Vigtig egenskab ved proportionalitet (derfor man adskiller dem fra andre linjer):

'Hvis x fordobles, vil y også blive fordoblet. Osv.'

Dette er nemt at illustrere grafisk:
Formler/udregninger ved proportionalitet:

(grundformlen – vi isolerer nu a)
(vi har fundet en formel for a, men bytter lige side, så formlen er klar til indsættelse)
Dvs.: Et punkt (x,y) er nok til at finde prop. konstanten a!

(*) Desuden evt.:

(grundformlen – vi isolerer nu x)
(vi har fundet en formel for x, men bytter lige side, så formlen er klar til indsættelse)
Færdig formel for x!

Lineær funktioner

b er skæringen på y-aksen, fordi:

vi indsætter

Dvs. er et punkt på grafen

a er hældningskoefficienten, dvs. når x vokser med 1, så vokser y med a

(I SPØRGSMÅL 6, KAN I SE HVORDAN MAN BESTEMMER A OG B UD FRA TO PUNKTER, SAMT BEVISER HERTIL)

Eksempel på lineære modeller og proportional:

Rapportspørgsmål

1. Kogning af vand (som jo er en almindelig linje y = ax + b)
2. Diameter vs. omkreds (som er en proportionalitet y = ax)

Diameter vs. omkreds:

Ved diameter vs. omkreds siger I at I målte på runde objekter og fik ca. sådan en graf her:

Her er pointen at vi forventer at få en proportionalitet, da formlen fra folkeskolen er:

Omkreds = pi * diameter                   –       som netop er en proportionalitet, bare med andre bogstaver:

Vi forventer altså at stigningstallet a bliver tæt på pi, og det passer jo godt med de 3,11. Endvidere forventer vi at b skal give ca. 0. Det passer også godt med at vi fik 0,23 det er stort set = 0.

Kogning af vand

Vi varmede vand op og målte temperaturen hver 10. sek. og fik noget der minder om følgende
(se næste side + lav bare en grov skitse med 4-5 punkter en smule spredt omkring linjen):

Stigningstal    (a)        Skæring med y (b)

(= temperaturstigning (=Starttemp.)                                      i grader pr. sekund)

Tallet 20,6 betyder at vandets startetemperatur var 14,3 grader og 0,31 betyder at temperaturen stiger med 0,31 grader pr. sekunder. Modellen kan bruges til at lave undersøgelser, fx: hvornår koger vandet?

Vandet koger ved så skal man løse en ligning

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

6. Lineære funktioner

Gør rede for den lineære funktion y = ax + b. Fortæl om betydningen af konstanterne a og b og hvorledes de kan bestemmes. Giv desuden et eksempel på en anvendelse af lineære modeller.

Start med at definere ligningen:

(hvor a og b er konstanter)

Stigningstal/hældningskoeffeicient      Begyndelsesværdien (skæringen med y-aksen).

Lav nu et grafisk overblik med et eksempel på en voksende og aftagende linje:

Det er altså udelukkende a, der bestemmer om grafen er voksende eller aftagende. Den præcise betydning af a er at hvis x vokser med 1, så vokser/falder y med a (se herover).

Som det ses er b skæringen med y-aksen. Da x = 0 ved y-aksen kaldes b også for begyndelsesværdien, da x-aksen ofte står for tiden i eksamensopgaver.

At b er skæringen med y-aksen kan i evt. bevise

Bevis for at b er skæringen med y-aksen:

Da x = 0 ved y-aksen sætter vi ind i grundligningen:
Vi har dermed vist at når bliver . Altså går alle linjer gennem punktet (0,b) og skærer dermed y-aksen i tallet b.

Eks. 1:

Skærer y-aksen i
Den er voksende da
og den vokser med 2, når x vokser med 1.

Eks. 2:

Skærer y-aksen i 6
Den er aftagende da
og den falder med 3, når x vokser med 1.

Bestemmelse af ligningen ud fra to punkter og

Start med at skrive formlerne for a og b op:

Bevis for formlerne for a og b ud fra to punkter og

Kogning af vand

Vi varmede vand op og målte temperaturen hver 10. sek. og fik noget der minder om følgende
(se næste side + lav bare en grov skitse med 4-5 punkter en smule spredt omkring linjen):

Stigningstal    (a)        Skæring med y (b)

(= temperaturstigning (=Starttemp.)                                      i grader pr. sekund)

Tallet 20,6 betyder at vandets startetemperatur var 14,3 grader og 0,31 betyder at temperaturen stiger med 0,31 grader pr. sekunder. Modellen kan bruges til at lave undersøgelser, fx: hvornår koger vandet?

Vandet koger ved så skal man løse en ligning

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

7. Eksponentielle funktioner

Gør rede for den eksponentielle funktion y = b·a^x. Fortæl om betydningen af konstanterne a og b. Giv desuden et eksempel på en anvendelse af eksponentielle modeller.

b er skæringen på y-aksen, det kan man vise ved at indsætte

a er fremskrivningsfaktoren

Hvis

Hvis

p er procenten y vokser med, når x vokser med 1

eksempel:

Funktionen vokser med 20 % når x vokser med 1 og dets begyndelsesværdi er 5

Hvad sker der hvis vokser med f.eks. 3? Man kunne jo tro den så bare ville vokse med . Men hvis det var tilfældet, ville den bare være lineær. I stedet skal vi have fat i følgende mere generelle formel:

hvor står for x-ændringen.

(Den anden formel: er egentlig samme formel, men bare i specialtilfældet hvor )

Hvis vokser med 3 får vi:
Den vokser altså med noget mere end de . Det svarer til når vi får 'renters rente', og det er det som gør den til en eksponentiel udvikling.

Havde vi haft en der faldt med 20 % når x voksede med 1 ville den til gengæld kun 'falde' med:

og altså ikke med .

Eksempel

Funktionen aftager med 7 % når x vokser med 1 og dets begyndelsesværdi er 3,2

Eksempel på model:

Vi ryger hash og får 20 mg THC i kroppen, mængden aftager med 29 % pr. dag

Så kan man bruge modellen, til at finde ud af hvornår man er hash fri, man antager at man er hash fri når man har 0,01 mg i kroppen. Vi skal løse en ligning

Dvs. efter ca. 16 dage er man hash fri

At finde ligningen ud fra 2 punkter (tal-eksempel)

Vi har punkterne (2 , 20) og (10 , 5)
x₁   y₁      x₂ y₂                         (Skriv disse neden under tallene)
Sæt så bare ind i de tidligere skrevne formler:

(Dvs. aftager med knap 16 %, når x vokser med 1)

Den vil censor måske gerne se jer indtaste, så vær sikker på I kan det!

Regneforskriften (dvs. ligningen) er dermed:

Bestemmelse af ligningen ud fra to punkter og

Start med at skrive formlerne til udregning af og op:     (og gerne en skitse også)

Bevis for formlerne for a og b ud fra to punkter og

8. Eksponentielle funktioner

Gør rede for den eksponentielle funktion y = b·a^x og hvorledes konstanterne a og b kan bestemmes Fortæl desuden om fordoblings- og halveringskonstanter og anvendelse af eksponentielle funktioner.

b er skæringen på y-aksen, det kan man vise ved at indsætte

a er fremskrivningsfaktoren

Hvis

Hvis

p er procenten y vokser med, når x vokser med 1

At finde ligningen ud fra 2 punkter (tal-eksempel)

Vi har punkterne (2 , 20) og (10 , 5)
x₁   y₁      x₂ y₂                         (Skriv disse neden under tallene)
Sæt så bare ind i de tidligere skrevne formler:

(Dvs. aftager med knap 16 %, når x vokser med 1)

Den vil censor måske gerne se jer indtaste, så vær sikker på I kan det!

Regneforskriften (dvs. ligningen) er dermed:

Bestemmelse af ligningen ud fra to punkter og

Start med at skrive formlerne til udregning af og op:     (og gerne en skitse også)

Bevis for formlerne for a og b ud fra to punkter og

Fordoblingskonstant:

er den afstand på x-aksen som svarer til en fordobling af y-værdien

Halveringskonstant

Man kan også aflæse

Eksempel:

Amfetamin, vi sniffer 20 mg, og halveringstiden er 4 timer

Regneforskrift:

dvs. et fald på 16 %

Regneforskriften bliver

Bevis for fordoblingskonstanten

Begyndelsesværdien er b, og vi fordobler b så har vi 2b

Vi indsætter vores punkt ind i regneforskriften

9. Potensfunktioner og vækstmodeller

Gør rede for potensfunktionen y = b·x^a. Du skal bl.a. komme ind på potenssammenhængen mellem x og y. Fortæl desuden om potensmodeller og giv eksempler på anvendelse.

Start med at definere ligningen:             Bestemmer om grafen er voksende eller aftagende

hvor både b> 0 og x > 0, hvilket

y-værdien når (så ikke en rigtig 'begyndelsesværdi')

Som det ses efter grundligningen er både og , hvilket betyder, at potensudviklinger kun er placeret i 1. kvadrant (= den øverste højre del af koordinatsystemet (se næste punkt)).

Lav nu et grafisk overblik med et eksempel på voksende og aftagende potensudviklinger:

o

(præcis er ikke med, da er defineret større end 0 fra start af. Vises evt. med en lille cirkel).

b er y-værdien når

Beregning af a og b

Eksempel: vi har to punkter

Dvs.

Bevis for formlerne for a og b ud fra to punkter og

Potenssammenhæng

Når x vokser med en fast procent så vokser/aftager y også med en fast procent

Eksempel:

Vi lader x-værdien vokse med 20 %

Vi har punktet og lægger 20 % til x:

Dvs. y vokser med 44 % når x vokser med 20 %

Man kan også bruge følgende formel (den som Wordmat har som standart)

Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Potensmodeller

Forsøg ,ed snorlængde og svingningstid

Vi undersøger om der er potenssammenhæng ved at bruge potensregression

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat:      R2 = 0,983547

Forklaringsgraden er større end 0,95 så der er en potenssammenhæng

10. Statistik

Redegør for begreberne kumuleret frekvens, sumkurve, kvartilsæt og boxplot for et grupperet observationssæt.

Vi tager udgangspunkt i et eksempel

Grupperet observationssæt, dvs. det er intervalinddelt

Sumkurve

I sumkurve forbindes punkterne med rette linjer, da vi antager at observationerne er jævnt fordelt i intervallerne

Øvre kvartil betyder, at 75 % er ca. 38 cm eller derunder.

Boksplot

Anvendes typisk til at sammenligne med et andet observationssæt.

Man skal bruge kvartilsættet samt største og mindste værdi, for at kunne tegne den

Histogram

Gennemsnit/middeltal

Man tager antal hyppighed og ganger med interval midtpunktet og divider med summen af observationer

Her har vi antaget at observationerne er jævn fordelt, dermed er de første 4 observationer 15 cm i gennemsnittet osv.

Ikke grupperet observationssæt

Lad os sige I har spurgt 12 elever, hvor mange timer de bruger på lektier om måneden og fået følgende svar i usorteret orden:

2   7   8   4   2   0   3   9   4   6   7   3

Sorter nu tallene i orden, men inkludér gengangere:

0   2   2   3   3   4   4   6   7   7   8   9

Da der er 12 tal, kan vi opdele i 4 lige store grupper på hver 25 %:

0   2   2 | 3   3   4 | 4   6   7 |   7   8   9

Medianen må være 4, da der står 4 på begge sider af midterstregen.

1. kvartil vil så være gennemsnittet af 2 og 3 – dvs. = 2,5

(Alternativt skal man her bare vælge tallet til venstre – altså 2, da vi her er nået op på lige akkurat 25 % i kumuleret frekvens)

3. kvartil må være 7, da der står 7 på begge sider af den sidste opdelingsstreg.

Her var der 12 tal og det var jo deleligt i 4 lige store grupper. Sådan er opgaverne ofte, men selv ved et ulige antal, kan man godt bruge metoden (medianen er så f.eks. bare det midterste tal), men måske kræver det lidt mere omtanke, når man skal finde 1. og 3. kvartil. Og metoden er kun smart hvis stikprøven består af få tal.

11. Økonomiske sammenhænge

Gør rede for principperne bag kapitalfremskrivning og annuitetsopsparing. Giv gerne eksempler på økonomiske sammenhænge. Inddrag gerne dit projekt.

Fortæl om de to opsparingstyper og hvordan man bestemmer konstanterne i formlen.

Kapitalfremskrivning:

Formlen kan bruges til en passiv opsparing, dvs. beløbet indsættes 1 gang og derefter læner vi os tilbage og venter på renterne.

Eksempel:

1000 kr. indsættes på en konto, renten er 3 % p.a.

Efter 5 år har vi

Dvs. vi har fået 159,27 kr. i rente på 5 år

Det er ikke noget ved!

(her kan du evt. fortælle hvordan bestemmes, se spørgsmål 1)

Annuitetsopsparing:

En opsparing, hvor det samme beløb indsættes hver termin, dvs. en aktiv opsparing.

Man kan forklare annuitetsopsparing ved at bruge formlen

Eksempel:

Vi indsætter 1000 kr. én gang om året, på en konto, hvor renten er 3 %.

Efter 1. indbetaling: 1000 kr.

Efter 2. indbetaling:

Efter 3. indbetaling:

Osv.…..

Fordi:

A_n = slutbeløb

b= beløbet der indsættes hver termin

r= renten pr. termin

n= antal indbetalinger

Eksempel:

Vi laver en børneopsparing og indsætter 1000 kr. i 18 år, dvs. 19 gange i alt. Renten er 3 %.

Dvs. vi har fået 6116,87 kr. i rente

Læg mærke til, at renten og terminen skal passe sammen. Hvis man fx indsætter 1000 kr. én gang om måneden, så skal renten omregnes til månedlig rente.

Bestemmelse af b:

Bestemmelse af r:

r kan ikke isoleres i formlen, man skal i stedet gætte en løsning (dette kan WordMat gør)

eksempel:

Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

Dvs. renten var ca. på 4 %

Bestemmelse af n: