- Vektorer og geometri i 2D
Forklar om regneregler for vektorer i 2D. Redegør desuden for, hvordan vektorregning kan
bruges til at beskrive linjer og cirkler i 2D
Hvad er en vektor?
En vektor er mængden af pile, der har samme længde og retning (orientering). Hver af pilene kaldes en repræsentant for vektoren.
– En vektor betegnes med en pil over.
– Koordinat system:
Bemærkning: Længde + retning.
Længdeformel:
Sætning:. En vektors længde findes ved hjælp af Pytagoras læresætning, da en vektorkoordinat også er en katete i en retvinklet trekant.
Regneregler:
Det viser sig, at man kan lave regneregler for vektorer, som man kan med tal, dvs. vi kan lægge vektorer sammen (adderer), trække dem fra hinanden (subtraher), gange dem med tal og gange dem med hinanden (skalarprodukt).
Definition:
Addition:
- Sætter de to pille i forlængelse af hinanden
Og forbinder start med slut.
Subtraher:
- Sæt de to pile ud fra samme punkt og
forbind spidserne.
Multiplikation (konstant): (ta – t =2)
- Ensrettede
- Modsatrettede
- Parallelle
Skalaprodukt:
Et nyttigt hjælpemiddel i beregninger med vektorer er skalaproduktet (prikproduktet). Ordet skala = tal, og det skal minde os om at resultatet af skalaproduktet er et tal.
Definition: Lad og være to vektorer med koordinaterne
= og =. Da defineres skalaproduktet som
Vinkelrette eller ortogonale vektorer
Hvis to egentlige vektorer og er vinkelrette på hinanden siges de at være ortogonale. Vinkelen mellem ortogonale vektorer er altså 90 grader. Derfor kan vi udlede:
0= 0 v = 90.
Determinanten:
Ligesom skalaproduktet er et nyttigt redskab er determinanten også vigtigt inden under vektor regningen.
Definitionen: = = =
Tal skema: En nem måde at udregne determinanten.
Parallelle vektorer: ||
Sætning: To egentlige vektorer og siges at være parallelle når deres determinant er nul, dvs. . Derfor kan vi udlede at hvis a og b er parallell a(hat) og b er ortogonale . Hermed en nem måde til at afgøre om vektorer er parallelle.
Parameterfremstilling og ligning for den rette linje:
Vi ser på en ret linje i et koordinatsystem. En ret linje kan beskrives ved et begyndelsespunkt og ved en retning. Vi har derfor:
, samt en vektor, , der er parallel med linjen.
Denne vektor kaldes for en retningsvektor.
Alle andre punkter på linjen kan findes ved at begynde i punktet og herfra bevæge sig et stykke i retningsvektorens retning (eller modsat). At bevæge sig et stykke, betyder at vi skal bevæge os stykket .
Hvis t er positivt bevæger vi os i retningsvektorens retning (omvendt negativ). Tallet t kaldes for en parameter, og alle punkter på linjen nås når parameteren løber til .
Stedvektoren til punktet P på linjen kan derfor angives som:
Skrevet i koordinater har vi udtrykket:
Dette kaldes for linjens parameterfremstilling.
Eks. To punkter A(2,5) og B(4,1), bestem parameterfremstillingen. T=2, T=-2
Vi ser herved at samme linje kan beskrives ved forskelige parameterfremstillinger.
Centralt i beskrivelsen for en linjens ligning står skalarproduktet og dets egenskaber.
Linje:
Vi kan også beskrive en linje ved hjælp af en ligning. Vi anvender et punkt på linjen , samt en vektor, , der er vinkelret på linjen. Sådan en vektor kaldes en normalvektor til linjen. Hvis P = (x, y) er et punkt i koordinatsystemet kan vi se følgende:
P ligger på linjen l à
er parallel med linjen l à
er ortogonal på normalvektoren n à
à
= 0 à
Dette betegnes linjens ligning.. Omformes til: .
Eks. A(2,-3) og B(2,5). Find linjens ligning. (Tværvektor til normalvektoren).
Tværvektor:
I koordinatsystemet definerer vi positiv omløbningsretning som retningen x-aksen mod y-aksen (altså mod uret). En drejning på 90 i positiv omløbsretning vil føre x-aksen over i y-aksen. Den vil også føre y-aksen over i x-aksen, men med modsat orientering.
Hvis a er en vektor, kan vi dreje den 90 i positiv omløbsretning. Den vektor der herved fremkommer, kaldes a's tværvektor, og den betegnes med en hat.
Cirklens ligning: – længdeformlen
En cirkel er kendetegnes ved dens centrum og dens radius. Alle punkterne på cirkelperiferien har samme afstand til centrum. Dette kan udnyttes til at finde en ligning som de punkter der ligger på cirklen, skal opfyldes. Koordinaterne for cirklens centrum er . Radius er tallet r. Så har vi følgende sammenhæng:
Punktet P= (x, y) ligger på cirklen à
|CP| = r à
à
Hermed har vi vist sætningen.
Eks. Cirkel med centrum (4,-2) og r =7, har ligningen:
(x-4)2+(y-(-2))2=72
(x-4)2+(y+2)2=49
Hvis vi udregner parenteserne får vi:
x2 -8x+16+y2+4y+4 = 49
x2 + y2 -8x +4y -29 = 0
Sætning:
De punkter P = (x, y), der ligger på en cirkel med centrum , og radius r, vil opfylde cirklens ligning:
Hvis vi erstatter lighedstegnet i cirklens ligning med et ulighedstegn, får vi disse muligheder:
- Hvis , vil punktet P have større afstand til centrum end radius, og dermed ligge udenfor cirklen.
- Hvis , vil punktet P have mindre afstand til centrum end radius, og dermed ligger inde i cirklen.
Vinkel mellem vektorer:
For to vilkårlige vektorer og gælder der at skalarproduktet
, hvor v er vinklen mellem de 2 vektorer.
Bevis:
Da skalaproduktet ikke afhænger af vektorernes placering kan vi dreje koordinatsystemet så er ensrettet med x – aksen. Herved koordinaterne: =
Vektor danner vinklen v med og dermed med x- aksen. Koordinaterne for bliver så:
= fordi
Nu udregnes:
=
Vi har hermed formlen til at beregne vinklen i mellem to vektorer:
Omformeres til:.
Skalaproduktet kan i midlertidigt anvendes til mere. Der gælder nemlig:
- Hvis , Skalaproduktet er positiv = cosinus(v) positiv, spids vinkel (under 90)
- Hvis , Skalaproduktet er negativ, så er v en stump vinkel (over 90)
- Hvis , så er v ret, idet (90)
Afstand fra punkt til linje:
Lad os betragte en linje l med ligning:
Hvis P= (x, y) er et punkt i koordinatsystemet kan vi opskrive følgende:
Hvis dette giver et positivt tal er vinklen mellem vektorerne n og mindre end 90. Punktet ligger derfor i den positive halvplan.
Hvis, ligger punktet P på linjen. Hvis tallet bliver negativt vil vinklen være større end 90 og punktet vil ligge i den negative halvplan.
Vi sammenfatter dette til:
- hvis , vil punktet P = (x, y) ligger på linjen l.
- Hvis , vil punktet P =(x, y) ligger i den positive halvplan for linjen l.
- Hvis , vil punktet P = (x, y) ligger i den negative halvplan for linjen l.
Hvis punktet P = (x,y) ikke ligger på linjen l, kan vi udregne punktets afstand på linjen.
Med afstanden fra et punkt til en linje mener vi den vinkelrette afstand fra punktet ned til linjen. Her er v den vinkel som vektorerne n og danner.
Vi kan derfor opskrive:
- Vektorer og geometri i 2D
Forklar om trekantsberegninger og arealberegninger i 2D ved hjælp af vektorregning.
Trekantsberegning er om at beregne sidelængder og vinkler ud fra andre (kendte) sidelængder og
vinkler. Hvis trekantens hjørner har koordinater – eller alternativt siderne er givet ved vektorer – kan
man nemt finde sidelængder vha. længdeformlen.
Vektors koordinater:
Vi indsætter nu vektorerne i et koordinatsystem, hvor vi angiver x og y aksen.
Vi afsætter vektoren, med et begyndelsespunkt P og endepunkt Q.
Længdeformel:
En vektors længde findes ved hjælp af Pytagoras læresætning, da en vektorkoordinat også er en katete i
en retvinklet trekant. .
Centralt i vinkelberegning er skalarproduktet.
Vinkel mellem vektorer:
For to vilkårlige vektorer og gælder der at skalarproduktet
, hvor v er vinklen mellem de 2 vektorer.
Bevis: Da skalaproduktet ikke afhænger af vektorernes placering kan vi dreje koordinatsystemet så er ensrettet med x – aksen. Herved koordinaterne: =
Vektor danner vinklen v med og dermed med x- aksen. Koordinaterne for bliver så:
= fordi
Nu udregnes:
=
- Vektorer og geometri i 2D
Forklar om afstandsberegning i 2D ved hjælp af vektorregning. Forklar også om skæring
imellem linjer og mellem linje og cirkel.
Vektors koordinater:
Vi indsætter nu vektorerne i et koordinatsystem, hvor vi angiver x og y aksen.
Vi afsætter vektoren, med et begyndelsespunkt P og endepunkt Q.
Længde:
Sætning: – afstandsformel:
En vektors længde findes ved hjælp af Pytagoras læresætning, da en vektorkoordinat også er en katete i en retvinklet trekant.
Afstand fra punkt til linje:
Lad os betragte en linje l med ligning:
Hvis P= (x, y) er et punkt i koordinatsystemet kan vi opskrive følgende:
(hvilket udledes i beviset om linjens ligning)
Hvis dette giver et positivt tal er vinklen mellem vektorerne n og mindre end 90. Punktet ligger derfor i den positive halvplan.
Hvis, ligger punktet P på linjen. Hvis tallet bliver negativt vil vinklen være større end 90 og punktet vil ligge i den negative halvplan.
Vi sammenfatter dette til:
- hvis , vil punktet P = (x, y) ligger på linjen l
- Hvis , vil punktet P =(x, y) ligger i den positive halvplan for linjen l.
- Hvis , vil punktet P = (x, y) ligger i den negative halvplan for linjen l.
Hvis punktet P = (x,y) ikke ligger på linjen l, kan vi udregne punktets afstand på linjen.
Med afstanden fra et punkt til en linje mener vi den vinkelrette afstand fra punktet ned til linjen. Her er v den vinkel som vektorerne n og danner.
Vi kan derfor opskrive:
Hermed er sætningen vist.
Skæring mellem to linjer:
Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de skære hinanden i et punkt. Hvis de er parallelle kan det undersøges ved linjernes retningsvektorer eller om deres normalvektor er parallelle.
Hvis to linjer er givet ved deres ligninger, vil skæringspunktet opfylde begge ligninger samtidig. Til at løse disse to ligninger med to ubekendte kan man bruge en metode fra vektorregning til at udlede en løsningsformel:
L1:
L2:
Tallene a, b og c er kendte tal og x og y er de ubekendte. Tallene ses som koordinater og
a= , b= og c=
De to ligninger kan skrives som ligninger i vektorer:
x+y =
Hvis vektor a og b er parallelle, vil vektor xa og yb også være parallel med a og b ligegyldigt, hvilken værdi x og y har. Hvis vektor c så ikke er parallel med a og b, vil ligningen ikke blive opfyldt. Vi antager derfor at vektorerne ikke er parallel.
Det betyder så at deres .
Vi ser så på ligningen xa + yb = c. Vi danner skalaprodukt med vektor .
Men da b og er ortogonale, kan vi reducere ligningen til:
Ifølge en regneregel, som siger at: og
Ses at:
Derfor fås:
Vi kan så i stedet danner skalaproduktet med vektorer , hvor vi vil få det tilsvarende.
Igen vil det ene led forsvinde, nemlig og vi har:
Hermed har vi vist følgende sætning.
Dvs. Betragter to ligninger med to ubekendte: -2x-y=1 og –x-2y=12. (løsning).
Hvis linjerne derimod er givet ved deres parameterfremstilling, skal man finde de parameterværdier som giver sammen punkt i begge parameterfremstillinger. Man kan så indsætte parameterværdier i parameterfremstillingen og finde skæringspunktets koordinater.
L: M:
Ligningerne løses for henholdsvis x-værdier og y –værdier, og med hensyn til s og t:
Dernæst indsættes f.eks. den fundne t-værdi i parameterfremstillingen i den ene, hvorved vi får koordinaterne til skæringspunktet.
Skæring mellem linje og cirkel:
Vi kan undersøge om en linje og en cirkel skærer hinanden og beregne evt. skæringspunkter. Vi ser på cirklens ligning og på linjens parameterfremstilling :
CL:
L:
Hvis der et punkt på linjen, der også ligger på cirklen, skal dets koordinater passe i cirklens ligning. .Derfor indsættes x =xo + tr1 og y= yo +tr2 ind i cirklens ligning.
Man får hermed en ligning, som kan omformes til en andengradsligning. Diskriminanten.
Er d > 0: to løsninger
Er d = 0: en løsning
Er d < 0: ingen løsninger.
Løsninger er derfor antal skæringerne mellem linje og cirkel. Hvis det havde vist sig at andengradsligningen ingen løsninger havde haft, så ville linjen og cirklen ikke have skæringspunkter.
Afstand fra centrum til tangenten:
Vi har en cirkel med centrum, som går gennem et punkt P (x,y). Vi ser at;
Dermed beregner vi også radius da |CP| = r. Tangenten til cirklen i P står vinkelret på linjen gennem C og P. Dermed er CP en normalvektor til tangenten. Da CP = (p-c) og P ligger på tangenten, har vi følgende ligning for tangenten.
Vi har hermed formlen til at beregne vinklen i mellem to vektorer:
Bevis cosinusrelationen:
I matematikken arbejder man ofte med at forbedre beviser, sætninger mm., ikke fordi man ikke det
er nødvendigt, men i bundt grund for gør et bevis nemmere og mere enkelt.
Jeg vi nu bevise cosinusrelationen med vektorer:
Vi ser på en trekant ABC og heri vektorerne:
Vektorerne AB, AC og BC udgør trekantens sider. Da AB + BC = AC, fås at BC = AC – AB.
Ifølge formelen:
Dette kan så omskrives til:
Ved at bruge skalarproduktet kan det sidste led omskrives:
Her er v den vinkel vektorerne AB og AC danner, og det er vinkel A i trekanten. Når vi nu indsætter
trekantens sidelængder i stedet for vektorernes længder, har vi formen:
Dette er netop en af varianterne af cosinusrelationen.
Arealet af et pallelogram
Hvis a og b er to egentlige vektorer, vil arealet af det parallelgoram de udspænder være:
T = (De numeriske tegn sikre at arealet bliver positivt).
Bevis: To vektorer udspænder tilsammen et parallelogram, hvor vektor a kan tolkes, som grundlinjen og højden, som den linje der står vinkelret ned på a. Ved at projicerer b på a(hat), har vi også højden.
Ved at anvende projektionsformlen:
Længden er projektionen er:
Vi kan hermed opskrive at a à b, b à a(hat).
Vi har kan derfor udlede følgende:
Arealet bliver så: .
Af sætningen følger at arealet af en trekant ABC udregnes:
Trekant: T=½ |det(AB, AC)|
Projektion:
Hvis vektor b er en egentlig vektor og a er en vilkårlig vektor, kan man definere projektionen ab:
Vi tegner to repræsentanter og betegner begyndelsespunkt for O. Vektor a's endepunkt kaldes A. Vi går dernæst vinkelret fra punktet A til vektor b danner. Punktet her kaldes B. Projektionen af vektor ab er da vektoren OB.
Af figuren ses at: OA = OB + BA, altså er a = ab + BA. Men vektor b og BA er ortogonale, så deres skalarprodukt er nul og derfor er:
Da ab og b er parallelle, kan vi finde tallet t, så ab =
Derfor er . Af denne ligning findes tallet t:
Derfor har vi nu fundet en formel for projektionen af en vektor på en vektor.
Projektionen af en vektor a på en egentlig vektor b kan udregnes som:
Midtpunktsformlen:
Hvis et linjestykke AB har endepunkterne A=(a1,a2) og B=(b1,b2) kan koordinaterne til linjestykkets midtpunkt, M beregnes som:
Bevis:
Da et punkts stedvektor og selve punktet har de samme koordinater, skal vi blot finde koordinaterne til vektorerne OM. Da M er midtpunktet af linjestykket AB, har vi at AM = ½ AB.
Derfor er:
Indsætter vi koordinater får:
En median i en trekant er den linje der går fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side.
Sætning:
I en trekant ABC vil de tre medianer altid skære hinanden i samme punkt. Hvis trekanten ligger i et koordinatsystem, og koordinaterne til trekantens vinkelspidser er A=a1,a2, B=b1,b2 og C=c1,c2 vil medianernes skæringspunkt være: .
- Vektorer og geometri i 3D
Forklar hvordan vektorregning kan bruges til at beskrive planer, linjer og kugler i 3D
Koordinatsystem
Når man taler om 3D er der ligesom i planen behov for at fastlægge et retvinklet koordinatsystem . I rummet kan man ikke nøjes med to koordinatakser. Her er der behov for en tredje akse. Vi kan forestille os gulvet i et lokale. Vi vælger et punkt, der er placeret over gulvet.
Vi kan da angive planens x- og y-koordinater til det punkt der ligger under P. For at fortælle hvor højt punktet ligger over gulvet, skal vi angive en tredje koordinat. Her anbringes en z-akse, som står vinkelret på de to andre – altså lodret. Det er ikke lige meget, hvordan disse akser ligger i forhold til hinanden.
Hvis x-aksen er i tommelfingerens retning og y-aksen er i pegefingerens retning, da skal z-aksen være i langfingerens retning. Denne regel kaldes højrehåndsreglen.
Et punkt i rummet
Dvs. Har vi punkterne på formen f.eks. P og Q kan vi forbinde dem til et linjestykke.
Vektorer:
En vektor defineres som et orienteret linjestykke. Et linjestykke mellem to punkter P og Q som har en retning og en længde. Vektoren vil da have koordinaterne:
Længden af en vektor:
Længden af en vektor kan så findes ved at anvende pytagoras' læresætning to gange. Vi ser først på den retvinklede trekant, som fremkommer i x- y planen og dernæst den lodrette vinkelrette trekant.
Afstandsformlen:
Afstand mellem punkterne P og Q kan beregnes som:
Regning med vektorer:
Man kan ligeså tosset, som man kan med tal regne med vektorer. Vektorer i rummet kan nemlig adderes, subtraheres og multipliceres fuldstændig som vektorer i planen.
Linje i rummet
Vi starter med at betragte en ret linje i et koordinatsystem. En ret linje kan beskrives med et begyndelsespunkt, og en retning. Vi har derfor:
, samt en vektor, , der er parallel med linjen. Denne vektor kaldes for en retningsvektor.
Alle andre punkter på linjen kan findes ved at begynde i punktet og herfra bevæge sig et stykke i retningsvektorens retning (eller modsat). At bevæge sig et stykke, betyder at vi skal bevæge os stykket .
Hvis t er positivt bevæger vi os i retningsvektorens retning (omvendt negativ). Tallet t kaldes for en parameter, og alle punkter på linjen nås når parameteren løber til .
Stedvektoren til punktet P på linjen kan derfor angives som:
Skrevet i koordinater har vi udtrykket:
z z0 r3
Dette kaldes for linjens parameterfremstilling.
F.eks. En linje går gennem A=(5,2,8) og B=(3,-2,5). Find retningsvektor. Opstil dernæst resultatet.
Ligningen for en plan
Ligningen for et plan i rummet er givet ved
Hvor vektoren er en normalvektor til planet.
og P(x,y,z) er et tilfældigt punkt på planet.
Dette kan bevises på følgende måde:
Vi har et fastpunkt på planet og en normalvektor. Ser vi på alle de punkter P(x,y,z) hvor normalvektoren er ortogonal på vektor , viser sig at alle disse punkter udgør en plan i rummet. Denne plan er en 2- dimensional del af rummet, og den går gennem P0 og normalvektoren. Vi kan da finde en ligning for planen:
P ligger på planen.
Dermed er ligningen for planet fundet. Ethvert punkt der ligger på planen, vil have et koordinatsæt der opfylder denne ligning.
Planens parameterfremstilling:
Hvis vi har en plan i rummet og to vektorer f.eks. u og v, som ikke er parallelle, men parallelle med planen, siger vi at vektorerne udspænder planen.
Hvis er et punkt i planen og vi har punktet P, har vi foruden det vektorerne, hvor er et vilkårligt punkt i planen. Vektorerne kan da skrives om:
Punktet P i planen kan dermed angives som:
I koordinater får vi hermed:
* t s, t tilhører R.
z zo r3 v3
Når parametrene s og t gennemløber alle de reelle tal, vil parameterfremstillingen fremstille koordinaterne for samtlige punkter i planen.
1.1. Kugle i rummet
En kugle i rummet opfylder blot at afstanden fra centrum til et tilfældigt punkt på linjen er det samme som radius af kuglen: I det p er punkt på kugleskallen
Dette er kuglens ligning.
Eks. Hvis en kugle har centrum i C = (2,3,-1) og radius r = 5 har kuglen ligningen:
Eks. Man kan også undersøge om en ligning er en ligning for en kugle:
Vi kan omskrive ligningen:
Af ligningen er der tale om en kugle med C = (-3,4,0) og r =
1.2. Definition. Krydsprodukt
Det er undertiden meget nyttigt at kunne finde en vektor, som står vinkelret på to andre vektorer og . En sådan vektor kan defineres ved at angive dens længde og retning. Vi vil kalde den vektor, som vi ønsker at definere krydsproduktet mellem og . Notationen for vektoren er .
Længden af krydsproduktet er givet ved
Retningen af krydsproduktet er givet ved højrehåndsreglen:
Lad tommelfingeren være i 's retning og pegefingeren i 's retning. Da vil langfingeren pege i 's retning.
Krydsproduktet kan beregnes på følgende måde.
- Vektorer og geometri i 3D
Forklar om linjer, planer og beregning af deres skæring i 3D ved hjælp af vektorregning.
Koordinatsystem
Når man taler om 3D er der ligesom i planen behov for at fastlægge et retvinklet koordinatsystem . I rummet kan man ikke nøjes med to koordinatakser. Her er der behov for en tredje akse. Vi kan forestille os gulvet i et lokale. Vi vælger et punkt, der er placeret over gulvet.
Vi kan da angive planens x- og y-koordinater til det punkt der ligger under P. For at fortælle hvor højt punktet ligger over gulvet, skal vi angive en tredje koordinat. Her anbringes en z-akse, som står vinkelret på de to andre – altså lodret. Det er ikke lige meget, hvordan disse akser ligger i forhold til hinanden.
Hvis x-aksen er i tommelfingerens retning og y-aksen er i pegefingerens retning, da skal z-aksen være i langfingerens retning. Denne regel kaldes højrehåndsreglen.
Et punkt i rummet
Dvs. Har vi punkterne på formen f.eks. P og Q kan vi forbinde dem til et linjestykke.
Vektorer:
En vektor defineres som et orienteret linjestykke. Et linjestykke mellem to punkter P og Q som har en retning og en længde. Vektoren vil da have koordinaterne:
Længden af en vektor:
Længden af en vektor kan så findes ved at anvende pytagoras' læresætning to gange. Vi ser først på den retvinklede trekant, som fremkommer i x- y planen og dernæst den lodrette vinkelrette trekant.
Afstandsformlen:
Afstand mellem punkterne P og Q kan beregnes som:
Regning med vektorer:
Man kan ligeså tosset, som man kan med tal regne med vektorer. Vektorer i rummet kan nemlig adderes, subtraheres og multipliceres fuldstændig som vektorer i planen.
Linjens parameterfremstilling:
Vi starter med at betragte en ret linje i et koordinatsystem. En ret linje kan beskrives med et begyndelsespunkt, og en retning. Vi har derfor:
, samt en vektor, , der er parallel med linjen.
Denne vektor kaldes for en retningsvektor.
Alle andre punkter på linjen kan findes ved at begynde i punktet og herfra bevæge sig et stykke i retningsvektorens retning (eller modsat). At bevæge sig et stykke, betyder at vi skal bevæge os stykket .
Hvis t er positivt bevæger vi os i retningsvektorens retning (omvendt negativ). Tallet t kaldes for en parameter, og alle punkter på linjen nås når parameteren løber til .
Stedvektoren til punktet P på linjen kan derfor angives som:
Skrevet i koordinater har vi udtrykket:
z z0 r3
Dette kaldes for linjens parameterfremstilling.
Planens ligning:
Ligningen for et plan i rummet er givet ved;
Hvor vektoren er en normalvektor til planet og P(x,y,z) er et tilfældigt punkt på planet. Dette kan bevises på følgende måde:
Vi har et fastpunkt på planet og en normalvektor.
Ser vi på alle de punkter P(x,y,z) hvor normalvektoren er ortogonal på vektor , viser sig at alle disse punkter udgør en plan i rummet. Denne plan er en 2- dimensional del af rummet, og den går gennem P0 og normalvektoren. Vi kan da finde en ligning for planen, da P ligger på planen:
Dermed er ligningen for planet fundet. Ethvert punkt der ligger på planen, vil have et koordinatsæt der opfylder denne ligning.
Planens parameterfremstilling:
Hvis vi har en plan i rummet og to vektorer f.eks. u og v, som ikke er parallelle, men parallelle med planen, siger vi at vektorerne udspænder planen.
Hvis er et punkt i planen og vi har punkter P, har vi foruden det vektorerne, hvor er et vilkårligt punkt i planen. Vektorerne kan da skrives om:
Punktet P i planen kan dermed angives som:
I koordinater får vi hermed:
* t s, t tilhører R.
z zo r3 v3
Når parametrene s og t gennemløber alle de reelle tal, vil parameterfremstillingen fremstille koordinaterne for samtlige punkter i planen.
Skæring og vinkler mellem forskellige figurer skæringer og vinkler mellem to linjer:
Skæring imellem to linjer:
Hvis linjerne er givet ved deres parameterfremstillinger, kan man undersøge om linjerne er parallel ved hjælp af retningsvektorerne. Er de parallelle, vil linjerne være parallelle, eller de vil være sammenfaldende. Hvis de to retningsvektorer ikke er parallelle, vil de to linjer ikke være parallelle.
Så er der to muligheder:
- Enten vil de have skæringspunkt.
- De vil være vindskæve, dvs. at de intet skæringspunkt har.
Man kan undersøge om to linjers retningsvektorer er parallelle ved se om koordinaterne passer sammen hele vejen ned. Hvis de så ikke passer er linjen ikke parallelle, og man kan så undersøge om de så skære hinanden. Dette kan undersøges ved at finde to parameterværdier s og t, som giver samme punkt i både den ene parameterfremstilling og den anden. Dermed har man et skæringspunkt.
Eksempel: l: (x, y, z)=(3,-7,1)+t*(-1,5,4) og m: (x, y, z)+t*(2,2,-4).
Skæring mellem en plan og en linje:
Om en linje og en plan skærer hinanden, undersøges ved at se på linjens retningsvektor og planens normalvektor. Hvis de er ortogonale, betyder det at linjen og planen er parallelle. Så vil de enten slet ikke skære hinanden eller også vil linjen ligge i planen. Hvis de så skærer hinanden undersøges det ved at indsætte koordinaterne for linjens parameterfremstilling i planen ligning. Man får derved en parameterværdi, som indsat i parameterfremstillingen giver skæringspunktets koordinater.
Skæring mellem to planer:
Hvis to planer ikke er parallelle, vil de skære hinanden i en retlinje. Retningsvektoren for denne rette linje vil være parallelle med begge planer og dermed ortogonal med begge planens normalvektor. Derfor kan vi finde en retningsvektor ved at tage krydsproduktet mellem de to planers normalvektor.
Vi kan også finde et punkt på denne linje ved at finde et koordinatsæt der opfylder begge planers ligninger. Dette kan gøres ved at vælge en af koordinaterne til at være nul. F.eks. x = 0, indsætter dette i begge planers ligninger og løser de to fremkone ligninger som to ligninger med to ubekendte.
Parameterfremstillingen for skæringslinjen bliver hermed punktet og retningsvektoren indsat.
Skæring mellem kugle og linje:
En linje kan ligge på tre forskellige måder i forhold til en kugle:
- De kan skære hinanden i to punkter.
- De kan have et punkt til fælles. I dette tilfælde vil linjen tangere kuglen.
- Endelig er der tilfældet hvor de ikke har nogen skæringspunkter.
Man finder evt. skæringspunkter ved at indsætte koordinatudtrykket for linjens parameterfremstilling i kuglens ligning hvorefter man får en andengradsligning med parameterværdien som ubekendt. Denne andengradsligning løses, og antallet af løsninger til andengradsligningen bestemmer antallet af skæringspunkter. Skæringspunkterne finder man til sidst ved at indsætte de fundne parameterværdier i linjens parameterfremstilling.
Skæring mellem kugle og plan – tangentplan:
Hvordan en kugle og en plan skærer hinanden, afgøres af kuglens radius og afstand fra kuglens centrum i planen. Der er følgende muligheder:
- Hvis afstanden fra centrum til planen er større end kuglens radius, vil der ikke være nogen skæringspunkter.
- Hvis afstanden er mindre, vil skæringspunkterne udgøre en cirkel i planen.
- Hvis afstanden til planen er præcis lig med radius i kuglen, vil der være et skæringspunkt, og planen vil være tangentplan til kuglen.
Afstanden kan finde med afstandsformlen:
- Integralregning
Forklar om stamfunktion og regneregler for integraler – herunder integration ved substitution
Integration ved substitution:
Der findes desværre ingen generelle regneregler til at bestemme stamfunktioner eller udregne bestemte integraler af et produkt eller en brøk af to funktioner. Der er er dog to regler, der bygger delt på differentialkvotienten af et produkt dels på differentialkvotienten af en sammensat funktion, som eventuelt kan anvendes. Integration ved substitution har udelukkende interesse uden hjælp af cas- værktøj.
Sætning: Hvis funktionen f har stamfunktionen F og funktionen g er differentiabel, gælder følgende formler:
Hvor t = g(x) og
Bevis:
I første formel skal vi eftervise at F(g(x)) er en stamfunktion til . Dette gøres ved at differentiere den som sammensat funktion:
I anden del udnyttes dette således:
=
=
=
- 184- 185. Integration ved substitution.
Sætningen om integration ved substiution anvendes nemmest ved følgende huskeregel. Vi sætter g(x) = t. Vi kan så skrive differentialkvotienten således:
g'(x) = dg/dx = dt/dx.
I integralet f(g)g)*g'(x) kan vi erstatte g(x) med t og g'(x)dx med dt, og vi får: f(t)dt. Således skiftes i transformationen arbejde med variablen x til variablen t.
Man får g'(x)dx ved at regne med udtrykket for dt/dx som om det var en brøk.
g'(x) = dt/dx à g'(x) * dx = dt.
Eksempel på udregning: s. 186 bogen.
- Integralregning.
Forklar om sammenhængen mellem areal og stamfunktion samt om det bestemte integral.
s
''
- Historisk matematik
Giv et rids af den græske matematiks historie. Udvælg selv nogle eksempler på beviser og konstruktioner fra din rapport.
Græsk matematiks historie:
Den græske matematik træder ind i 500 tallet f. Kr., hvor man for første gang indfører matematiske beviser. Her så man for første gang resultater, som ud fra definitioner, aksiomer (forudsætninger) kunne bevises.
Det vides ikke med sikkerhed hvem der er den først kendte græske matematikker, men i de fleste historiske kilder nævnes Thales at have leveret de første mange vigtige matematiske beviser for ting. F.eks. konstruerede han pyramiden for kongen i Egypten.
Den anden som også bliver central i den græske matematik er Pytagoras. Det fortælles at han og hans efterfølgere, de såkaldte pytgagoræerne rejser til lille Asien, hvor de stifter bekendtskab med matematikken og ligger vægt på at bevise de matematiske resultater. De bliver så begejstret for matematikken og dens muligheder at de beskriver alt som tal. Når de talte om tal, mente man i starten kun de hele tal og brøker af hele tal. Disse blev kaldt rationelle.
Derfor var det et problem, da de skulle beskrive forholdet mellem siderne og diameteren i en firkant. Forholdet kan nemlig ikke skrives med rationale tal, og grækerne kaldte derfor denne slags for irrationelle. I dag kender vi til kvadratroden, og kan derfor skrive tallet.
Vi betragter en firkant med diagonalen (d) og siderne (s):
Hvis lader s = 1 da har vi forholdet:
Fra pytagoras ved vi at
Vis, at er et irrationalt tal.
Bevis:
Beviset er et såkaldt modstridargument, hvor vi antager det modsatte af, hvad vi skal vise, og når frem til en absurditet.
Antager at er et rationalt tal dvs. et tal, der kan skrives som en brøk af to hele tal.
Lad os sige =
Hvor brøken er uforkortelig. (Den er forkortet mest mulig).
Ved kvadrering får vi:
=
Det viser at er et lige tal, da kvadratet på et ulig tal altid er ulige og kvadratet på et lige tal altid er lige, må d altså være et lige tal:
d = 2p. , for et passende p.
indsætter vi dette i får vi:
Dette viser at er et lige tal. Men så må s være lige – altså s =2q for et passende q.
Det betyder at brøken nu kan forkortes med 2, hvilket er i modstrid med vores antagelse.
Dette udløste, hvad man siden har kaldt den første grundlagskrise, og blev en af årsagerne til at den græske matematik vendte sig fra talbehandling til geometri. ( tal à geometriske størrelser).
Geometri:
Her træder Euklid ind, som ca. i perioden fra 500 til 300 får en central rolle. Han sammenfatter nemlig hele den daværende græske matematik i sit store værk Elementerne (13 bøger – kapitler).
Værket er bygget op med aksiomatisk – deduktivt system startende med en lang række aksiomer (sætning) eller postulater (påstand) og nogle definitioner, hvorfra sætninger successivt bevises. Værket udgivelse får en helt afgørende indflydelse på matematikkens udvikling. Den første egentlige lærebog man anvender til undervisning på skoler osv.
De væsentlige forskellige på vores geometri og Euklids geometri:
- Vores geometri er analytisk – dvs., vi bruger et koordinatsystem til beskrivelse af de geometriske objekter. Descart indfører koordinatsystemet i 1600 tallet.
- I den analytiske geometri defineres punkter som skæringspunkter mellem linjer, linjer og cirkler og mellem to cirkler.
- I vores analytiske verden er et punkt fastlagt ved et koordinatsæt.
Konstruktioner bliver straks oversat til et algebraisk problem, hvor vores sprog om metoder er langt mere udtryksfulde end i den geometriske verden.
Geometrien à algebra (analytisk geometri – kvadratrod).
1600 tallet der indføres koordinatsystemet også, hvilket får betydning for at vi geometrien. Der sker nemlig det at alle argumenter foregår herefter med ligningsløsninger osv.
Euklid 's Geometri: Højdepunkter var konstruktionen.
Uløste konstruktionsopgaver
Ternings fordobling: Vi skal se om vi kan konstruerer terningen
Vi ser på en terning:
Gennemføre argumentet ved at sætte a = 1, b = og c =
- Med disse værdier starter vi med at se på en terning med sidelængden 1 og rumfang 1. Dette er a – terningen.
- Dernæst ser vi på en terning med sidelængen , hvilket givet er rumfang på , altså det dobbelte rumfang. Dette et b – terningen.
- Herefter ser vi på en terning med sidelængderne , hvilket giver et rumfang på , altså det dobbelte rumfang af b- terningen og det 4 dobbelte af a- terningen.
Og så skal vi nu argumentere for, at disse værdier opfylder ligningerne:
Den sidste af ligningerne er helt åbenlys: Indsæt a = 1:
Nu ved så: og a = 1, så står der b = b.
Vi regner så på det første udtryk:
Altså kan vi konstruerer et linjestykke med denne længde.
Vinklens tredeling:
Vi får givet en vinkel. Den skal deles i tre lige store dele.
I enhedscirklen afsættes den vinkel man ønsker at tredele. Denne vinkel kaldes 3v, og vi ønsker at finde v. Vi laver stykket |AC|, hvor linjestykket |BC| = 1 indgår.
Trekanten OAB og OAC er nu ligebenet, og vi skal nu vise at .
Bevis:
Sæt . Da er ligebenet (|OB|=|BC|=1), er. Derfor er
Da = 180 får vi:
= 180-(180 -2 x)=2 x
Og da 3 v + + x = 180 får vi:
= 180 – 3 v – x
Da endvidere er ligebenet (|OA|=|OB|= 1) er = 2x, fås:
Vi har nu bevist at = x. J
Den samlede vinkel sum i
Bevis:
Tegn linje OM. Denne vil halvere O, så AOM = 45. Da OMA = 90, er OAM =45, og OAM er dermed ligebenet. Sæt |AM| = x.
Da OAM er retvinklet, kan vi Pytagoras:
Statistik
Du skal med inddragelse af din rapport 'Fra terningkast til meningsmålinger' redegøre for
binomialfordelingen og konfidensintervaller.
Hvad er en binomialfordeling?
Definition:
Binomialfordelingen er i statistik en måde at beregne den teoretiske fordeling af antal udfald i
et eksperiment der opfylder:
- At der skal være tale om et 'basiseksperiment'.
- At basiseksperimentet skal kunne fortolkes som havende præcis to udfald ('succes' og 'fiasko').
- Man kender sandsynligheden for 'succes' (og dermed også for 'fiasko' fordi summen af de to sandsynligheder giver 1).
- Man gentager basiseksperimentet et antal gange.
Et klassisk eksempel på en binomialfordeling er at beregne fordelingen af sandsynligheden for antal
6'ere hvis man kaster fx 10 gange med en terning. Vi ved at sandsynligheden for at få en 6'er er ved kast med en regulær terning. Vi kan kalde udfaldet 'en 6'er' for succes. Dermed er det fiasko at få 1,2, 3, 4 eller 5.
Man kan fx tegne et søjlediagram over hvor stor sandsynligheden er for at få 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eller 10 seksere hvis man kaster 10 gange med en terning. Med søjlediagrammet anskueliggør man fordelingen af succeser (se nedenfor).
b
Fordi fordelingen kun gælder hele antal kast, kalder vi det en diskret fordeling. En kontinuert fordeling vil kræve at udfaldene udgøres af alle reelle tal.
Hvis man har mange gentagelser, betragter man hyppigt fordelinger som kontinuerte på trods af at de egentlig er diskrete.
Binomialfordelingen nærmer sig normalfordelingen når n er stor. Binomialfordelingen opfører sig- når n bliver stor nok – som en normalfordeling. Du skal vi at normal fordelingen er en klokkeformet kontinuert fordeling.
Ved at betragte dem som kontinuerte kan man opskrive en funktionsforskrift
for fordelingsfunktionen, og det giver store fordele i bearbejdningen. Sandsynlighederne for de forskellige antal 6'ere hvis man kaster 10 gange med en regulær terning bliver:
Her er søjlerne placeret så tæt så det nærmest ser ud som om der er en kurve. Hvad der egentlig er
en diskret fordeling, tager sig nærmest ud som en kontinuert fordeling.
I vores rapport tog vi udgangspunkt i et forsøg, hvor vi kastede med 12 terninger 20 gange.
Vi skulle herud fra bestemme, hvad sandsynligheden var at slå 1'ere og 2'ere (tilsammen).
og
Ud af de 12 kast får vi altså (tilsammen):
Vi kan altså derfor forvente 4 1'ere og 2'ere (tilsammen) ud af et kast med 12 terninger.
Dette er blot et teoretisk bud på hvad sandsynligheden for et resultat af en hændelse i vil blive. Da det er et teoretiske bud kan kun man undersøge sandsynligheden og det er dog ikke sikkert at hændelsen bliver som i teorien, og da der i dette tilfælde er tale om en binomialforsøg vil udfaldene også være uafhængige af hinanden.
Vi kastede med en 12 terninger ved 20 kast:
Gennemsnit | 3,8 |
Teoretisk middelværdi | 4 |
Afvigelse i procent | 5 |
Histogram:
Teoretisk set – binomialfordelingen:
Forsøget binomialfordeling kan beskrive som b(n,p) i vores tilfælde b(12,1/3).
Med paramterværdien n = 12 og p = 1/3.
Fik vi følgende pindediagram:
Ovenstående diagram viser (binomial)sandsynligheden af antal succes'er. Foruden det illustrerer diagrammet at vi med b(12,1/3) har mest succes med at slå fire 1'ere eller 2'ere. Foruden det er successen før eller efter fire aftagende.
Formel til bestemmelse af binomialsandsynligheden:
Med denne formel kan vi bestemme forskellige sandsynligheder.
Vi anvender binomialformlen til at eftervise at P(2) = 0,1272.
Beregning af den teoretiske middelværdi:
μ =
Altså får vi en middelværdi på 4, som angiver hvor mange succeser man kan forvente at få ud fra antallet af gentagelser.
Beregning af den teoretiske spredning:
? (?) =
Altså får vi en spredning på 1,633, som angiver hvor meget langt observationerne ligger fra middelværdien.
Teoretisk – forventes:
Det man forstår ved ovenstående begreb er som ordet selv udtrykker, nemlig at der noget teoretisk man forventer. Dog er det ikke er sikkert, at man i praktisk vil
opfylde de forventede udfald, men det praktiske skulle meget gerne nærme teorien,
hvis forsøget udføres en gentagne gange (altså bliver n stor).
- De trigonometriske funktioner
Forklar om additionsformlerne for sinus og cosinus og redegør for differentialkvotient for de trigonometriske funktioner.
Definere sinus og cosinus som funktioner ud fra enhedscirklen.
Enhedscirkel:
Hvis vi betragter en enhedscirkel med og r=1, kan vi ved at tage udgangspunkt i et retningspunkt bestemme koordinaterne dertil.
For det er nemlig sådan at;
Definition:
For et reelt tal x er cos(x) lig med første koordinaten til retningspunktet og sin(x) er lig med anden koordinaten til P.
Ud fra denne definition kan man opfatte cos og sin, som en forskrift for en funktion, idet der til ethvert reelt tal x knyttes et tal cos(x) og sin(x). Vi kan derfor opfatte cosinus og sinus som funktioner med defintionsmængde R. Værdimængden for de to funktioner er (-1,1).
Grafisk illustration af de to funktioner:
Man siger at funktionerne er periodiske med periode 2pi. Det betyder at graferne for funktionen starter forfra når man går 2pi mod højre, svarende til at man begynder en ny omgang på en enhedscirkel.
Inden jeg går i gang med at tale om en række formler som viser en sammenhæng mellem er de trigonometriske funktioner cosinus og sinus, vil jeg lige kort omtale radiantallet.
Vinkel mål og radianer:
En vinkel måles som regel i grader. En vinkel på 1 grader vil afskære i 1/360 af hele cirkelperiferien og en vinkel på v afskærer v/360 af hele cirkelperiferien.
Man kan imidlertid også angive en vinkel ved dens radiantal, da det svarer til cirkelbuens længden.
Længden af hele enhedscirklens cirkelbue må vær lig med omkredsen af enhedscirklen;
Dvs. = = 360 grader. Længden er en kvart, radiantal;.
Gradetal er så; grader. En vinkel på 1 afskærer af cirklen.
Dens radiantal er derfor .
En vinkel på v afskærer derfor et stykke, der er v gange stort. Dens er derfor .
Der gælder derfor:
1.3. 10. Differentialregning
Gør rede for begrebet differentialkvotient og udled differentialkvotienten for
Gør rede for tangentligningen.
Differentiabilitet:
En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende, dvs. uden huller, spring, knæk eller spidser. Det ligger heri, at en differentiabel funktion altid være kontinuitet. Sagt på en anden måde er en funktion differentiabel, hvis dens graf har en tangent i ethvert punkt. En tangent som følger kurven tæt i en lille omegn omkring røringspunktet. At grafen har en tangent i punkt P med x- værdien , udtrykker man ved sige, at funktionen er differentiabel i .
Differentialregning handler altså om funktioners væksthastighed. Man er interesseret i at måle, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i bestemte punkter, dvs. man vil finde grafens 'hældning' i punkter, det gøres ved at 'måle' hældningen af tangenten i det pågældende punkt.
Forskellige navne på differentialkvotient
Differentialkvotient
Den afledende funktion
Tangenthældning
(vækst)hastighed
Sådan må graferne ikke se ud
Funktionen er differentiabel i hvis sekantens hældning
Har en grænseværdi for h gående mod o.
Hvis funktionen er differentiabel i så kaldes det tal sekantens hældning nærmer sig, for differentialkvotienten i (tangentens hældning)
3 trinsreglen:
- bestem og tilvæksten
- bestem hældningen af sekanten
- bestem hældningen af tangenten
sætning: er differentiabel og
bevis:
vi bruger tretrinsreglen
trin 1:
Trin 2 sekantens hældning
Trin 3 tangentens hældning
Dermed er vi færdige
- definition
- Handler om funktioners væksthastighed
- Eller hældningen af tangenten i et givent punkt
Tretrinsreglen
- Ønsker at bestemme tangentens hældning i .
- Vælger et nabopunkt og finder hældningen af sekanten gennem de to punkter.
- Finder det tal som sekantens hældning nærmer sig når h à
- Tallet er tangentens hældning.
En differentiabel funktion
- Hvis grafen har tangenter i alle punkter.
- Ingen spring eller knæk
- Eller:
Funktionen er differentiabel i hvis grafen er tilnærmelsesvis lineær omkring punktet.
- Avanceret:
Hvis sekantens hældning har en grænse værdi for h à 0, så er funktionen differentiabel i .
En funktion er differentiabel, hvis den er differentiabel i alle
Sekanthældning
Så hvis ovenstående gælder, er f differentiabel og vi har fundet tangentens hældning
- viser kun den med +
Lad f og g være differentiabel
Vise er differentiabel
Det eneste værktøj vi har, er
Så er der en regel der siger vi må gerne dele brøker op med samme nævner
Hermed er beviset slut, og jeg giver et eksempel på udregningen
Eksempel:
- bevise produktregel
Det eneste værktøj vi har, er
Lad f og g være differentiabel jeg sætter ind i ovenstående formel
Så trækker jeg noget fra og ligger det samme på igen, det viser sig at være en kanon go ide
Så er der en regel der siger vi må gerne dele brøker op med samme nævner
dermed er vi færdige og giv et eksempel
Eksempel:
- bevise
Hvis f og g er differentiabel så gælder
Det eneste værktøj vi har, er
Når x går mod x0 så har vi
5.bevise
Hvis f og g er differentiabel så gælder
Det eneste værktøj vi har, er
her har jeg divideret med noget og ganget med noget
Så vælger jeg, at skal være y da det bliver mere overskueligt
Eksempel på anvendelse
10 DIFFERENTIALLIGNINGER
Forklar hvad man forstår ved en differentialligning. Kom især ind på følgende differentialligninger
- forklaring/definition og bevise
- bevise
- bevise
- bevise/forklaring på
- forklaring/definition
En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede.
At løse eller integrere differentialligninger vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne. En differentialligning er en ligning af formen
som kan skrives ved formlen
Der skal indgå det er altså sammenhængen mellem x, y og hældningen
At løse differentialligninger er at finde helheden ud fra detaljen
Der findes; lineær vækst
Eksponentiel vækst
Forskudt eksponentiel vækst
Logistisk vækst
så må grafen være vandret
Ovenstående må jeg gerne, fordi der er ingen y på højre side så kan jeg gøre det, altså integrere
Stamfunktion sætning
2.bevise
så er
lad være en løsning til differentialligningen dvs.
hvis de er lig hinanden så er de lig 0
så får vi
Så er der en der har fået en go ide med at gange på det hele
Så bytter jeg rundt og får
kommer op hvis jeg differentier
Så bruger jeg produktregel
Noget differentieret giver konstant c
Har brugt potensregneregel
2.bevise Forskudt eksponentiel vækst
Fuldstændig løsning er
f er en løsning
4.forklaring på logistisk vækst
Eksempel på anvendelse af logistisk vækst
Vi betragter den logistiske differentialligning
Vi vil finde den løsning, hvis graf går gennem punktet
Ved at benytte ovenstående formel med a = 1 og M = 2, så kan vi at løsningen bliver
Hvor c er et tal
Da vi ved, at , så kan vi finde konstanten c
Eller ved hjælp af solve
Ligning bliver dermed
Jeg tegner grafen
Her ses det tydeligt, at M = 2 passer ind på grafen
Skriv et svar