SRO: Modeller, funktioner og radioaktivitet

Modeller, funktioner og radioaktivitet

Abstract

Modeller, funktioner og radioaktivitet

This paper explores the various kinds of radioactive decay, with focus on nuclides that can be found in the nature. This paper explains the importance of a nuclide table when dealing with radioactive decay, for the reason being that over 3000 nuclides known today have different decay types. This paper illustrates a real world problem, and thereafter translates it into a model from the mathematical world in order to explain the problem. On the basis of this it describes the importance and flaws using a model when trying to define radioactive decay for the reason being that decay can never be precisely predicted . A exploratory trail is in this paper analyzed for the purpose of reviewing the models used and the limitations it has. The paper demonstrates the analysis by holding the results from the trail up against theoretic values, and on the basis of these confirm the model and the limitations the model holds. At last the paper explains and discusses the use of intrgral in order to calculate the number of decays in a time period, and how integral can be used to review the model and its flaws.

Problemformulering

Jeg har valgt at lægge fokus på radioaktivitet og vil dertil benytte fagene fysik og matematik til at forklarer, beskrive, analyserer og diskuterer lovmæssigheder og modeller relevante for problemformuleringen

Problemformuleringen lyder således:
I naturen findes der radioaktive stoffer, som henfalder spontant. Giv eksempler på de forskellige typer af henfald, som kan forekomme.

Beskriv den matematiske og fysiske model, der beskriver de lovmæssigheder der gælder for henfald af radioaktive stoffer.

Analyser datamaterialet fra forsøget ”halveringstid for Pa-234” og diskuter anvendeligheden af den benyttede model (begrænsninger, overensstemmelser med teorien og lignende)

Forklar og diskuter, hvordan integralregning kan anvendes til at bestemme antallet af kerner, der henfalder i et bestemt tidsrum.

Besvarelse af problemformulering

Typer af henfald

Når man taler om radioaktivt henfald er der 3 overordnede typer, alfa(α)- , beta(β)- og gamma(γ)henfald. Beta henfald er inddelt i tre slags henfald, beta-minus(β^–)- og beta-plus(β⁺)henfald og elektronindfangning, eller også kaldt k-indfangning.
Når man skal se på om et atom henfalder, er det ikke nok bare at se på atomnummeret, i stedet skal man se på fordelingen af neutroner og protoner i kernen, hvilket til sammen udgiver nukleontallet, og kaldes for en nuklid eller isotop. Når man taler om nukleoner opskriver man det således , hvor A er det samlede antal protoner og neutroner, Z er antallet af protoner eller også kaldet ladningstallet, og X er symbolet for grundstoffer der svarer til protontallet. En ustabil nuklid vil henfalde og kan henfalde flere gange, hvis den nuklid den henfalder til også er ustabil, men vil til sidst ende som en stabil nuklid. Nukliden er ustabil hvis den har et overskud af neutroner, protoner, energi eller hvis nukliden er for stor, da tiltrækningskræften ikke længere kan holde sammen på kernen.[1] For at kunne se hvilke nuklider der er stabile og hvilke der er ustabile, og hvordan de henfalder gør man brug af et isotopkort, herpå er optegnet de 3000 forskellige nuklider man kender i dag.

Ved alfa-henfald udsender atomkernen en helium-4-kerne, hvilket vil sige to protoner og to neutroner, når den henfalder.[2] En nuklid der henfalder ved at udsende en helium-4-kerne er for eksempel Wolfram-183, W-183’s forekomst i naturen er 14,31 %.[3] Et henfaldsskema til W-183 vil se således ud:

Hafnium-179 er en stabil nuklid, havde den været ustabil ville den igen henfalde, dog behøves det ikke at være alfa-henfald.

Fælles for alle tre beta-henfald er, at antallet af kernepartikler i kernen ikke ændrer sig, og fælles for dem er også at ladningen er bevaret, da der enten opstår en positiv og en negativ elementarpartikel eller at en positiv og negativ elementarpartikel går ud, som set ved elektronindfangning.
Ved beta-plus-henfald udsendes en positron og en neutrino og en af protonerne i kernen omdannes til en neutron.[4] Vist på et skema vil det se således ud:

En nuklid der henfalder med beta-plus er for eksempel Rhenium-187, Re-187’s fremkomst i naturen er 62,60 %.[5] Et henfaldsskema til Re-187 vil se således ud:

Wolfram-187 er en ustabil nuklid og henfalder med beta-minus.

Ved beta-minus-henfald udsendes en elektron og en antineutrino og en neutron i kernen omdannes til en proton.[6] Vist på et skema vil det se således ud:

Wolfram-187’s fremkomst i naturen er omkring 0 %, også selvom at det den henfaldt fra havde en fremkomst procent på 62,6 %. Dette skyldes at Rhenium-187’s halveringstid er på og Wolfram-187’s halveringstid er på under 24 timer, så det tager meget lang tid at henfalde til W-187, og når den er henfaldet går det meget hurtigt med at henfalde videre.[7] Et henfaldsskema til W-187 vil dog se således ud:

Henfaldet frem og tilbage ser i princippet ud som en evighedsmaskine, men på grund af den meget høje halveringstid fra Re-187 skal man ikke regner med at få meget energi.

Gamma-henfaldet man kan se i reaktionsskemaet, fra W-187 til Re-187, skyldes overskudsenergi i kernen. Kernen slipper af med energioverskudet ved at udsende gammastråling, der har meget høj energi men lav frekvens.[8]

Ved elektronindfangning indfanger en proton en elektron fra atomets inderste eletronskal og bliver omdannet til en neutron og udsender en neutrino. Efterfølgende udsender atomet stråling, når en elektron fra de ydre skaller falder ned på den indfangende elektrons plads.[9] Dette vil se således ud:

En nuklid der henfalder ved elektronindfangning er for eksempel Calcium-41, dog er dens halveringstid så kort at meget meget små mængder har kunne overleve, siden de er blevet dannet af solsysemet.[10] Et henfaldsskema til Ca-41 ville dog se således ud:

Lovmæssigheder for henfald af radioaktive stoffer

Inde for fysikken har man en hypotese for henfaldsloven der lyder at en ustabil kerne har en vis sandsynlighed pr. tidsenhed for at henfalde, uafhængigt af hvordan kernen er dannet, hvor længe den har eksisteret, stoffets kemiske tilstand, tryk og temperatur.^[[11]]

Denne væskt kan man skrive som en eksponentiel vækst som vi kender det fra matematik ved formen:

Her er N antallet af kerner til tiden t, N₀ er startværdien til tiden t = 0 og a er fremskrivningsfaktoren, der vil være mindre end 1 eftersom at antallet af kerner aftager med tiden.[12] Fra matematikken ved vi pr. definition at vækstraten for en eksponentialfunktion givet ved er givet ved tallet r = a – 1.^[[13]]
Hvis nukliden derfor henfalder med 5 procent pr. tidsenhed, så vil vækstraten være -0,05 og værdien a vil være givet ved: 1 – 0,05 = 0,95. værdien r er negativ grundet at den aftager.

Henfaldsloven kan også i stedet beskrives ved hjælp af den naturlige eksponentialfunktion. Sandsynligheden pr. tidsenhed for henfald kaldes henfaldskonstanten og betegnes k. Hvis der findes N antal kerner på et tidspunkt,vil der henfalde (Nk)dt kerner i tidsrummet dt. Ændringen af de tilbageværende kerner i samme tidsrum vil derfor være givet ved dN = (-Nk)dt.[14] Der fås derved ligningen:

Denne ligning kan integreres og der fås herved den naturlige eksponentialfunktion for henfaldsloven givet ved:

Halveringstiden for det radioaktive henfald kan udledes ud fra henfaldsloven som beskrevet ved den naturlige eksponentialfunktion eftersom at halveringstiden må være den tid det tager for halvdelen af kernerne at henfalde, altså givet ved: også vist visuelt (se bilag 1).
Dette kan udledes og skrives ved:

Aktiviteten som er antal henfald pr. tidsenhed er ligesom beskrevet før givet ved Nk, dette giver formlen , hvor A måles i becquerel (Bq) og kendetegnes ved antal henfald pr. sekund.[15]

Forsøg med halveringstid og anvendelse af modeller

Forsøget med halveringstid for Pa-234 var et forsøg hvor der blev brugt en Pa-generator som indeholdt uranylnitrat (UO₂(NO₃)₂). Selve beholderen indeholdte flere forskellige ustabile kerner, såsom Uran-238, Thorium-234 og Thorium 230. Til at adskille Pa-234 fra de andre nuklider var der i beholderen tilsat en upolær væske (4-methyl-2-pentanon) med mindre massefylde end vand der gjorde at denne væske lå øverst i beholderen. Den tilsatte væske virker til at isolerer de andre nuklider ved at Pa-234 er opløselig i væske, hvorimod Th-234 bliver i den anden væske der ligger under og Th-230 på grund af sit alfa-henfald ikke har nok energi til at kunne trænge igennem beholderen.

Forsøget blev udført således at flasken skulle rystes for at få Pa-234 opløst i den lette væske, hvorefter et geiger-müller rør blev placeret oven på beholderen og skulle måle i intervaller af 10 sekunder over en periode på 5 minutter.
Efter selve forsøget blev baggrundsstrålingen målt ved at lade beholderes væske ligge sig igen, og geiger-müller røret blev placeret samme sted som forrige måling, denne gang med et samlet interval af 60 eller mere sekunder.

Målingerne for forsøget viser en graf der stiger over de første 50-60 sekunder og derefter aftager. Grafen ville kunne beskrives ved en 4. grads polynomium givet ved: med en R² værdi på 0,9604, eller muligvis et 3. grads polynomium givet ved:
med en R² værdi på 0,8984. (se bilag 2 og 3). Dog stemmer dette ikke overens med teorien om at ustabile kerner henfalder. Ud fra grafen ser det ud som at der bliver dannet kerner fra intervallet 0-60 sekunder og først derefter henfalder de. Hvis antallet af kerner ifølge teorien skulle øges, vil det da være fordi en anden nuklid henfalder til Pa-234, og dette ville den skulle gøre med en forholdsvis konstant rate, så længe det er over kort tid. Man kunne dog godt forestille sig, at idet man ryster beholderen vil det tage lidt tid før alle Pa-234 kernerne er opløst i væsken. Dette virker til at være tilfældet, da vi ikke oplever en forøgelse af Pa-234 ud over i starten lige efter beholderen blev rystet.

Udelukker vi de første 60 sekunder kan vi i stedet få en eksponentialfunktion givet ved:
Funktionen for den nye graf vil give eksponentialfunktionen: og R² værdien er her 0,98 (se bilag 4)

Ud fra eksponentialfunktionen vil vi nu ifølge teorien kunne beregne halveringstiden for Pa-234 givet ved formlen:

Der vil altså i gennemsnit gå 85 sekunder for halvdelen af kernerne at henfalde. Ifølge øvelsesvejledningen er halveringstiden for Pa-234 givet ved 70,5 sekunder. Dette giver en afvigelse på 20 %.

Et fuldstændigt henfaldsskema med Protacinium-234 vil i dette tilfælde starte ved Uran-238 og vil slutte ved den stabile nuklid plumbum-206, henfaldsskemaet vil se således ud.

Grunden til at henfaldsskemaet starter ved Uran-238, er på grund af den høje procentdel der fremkommer naturligt af lige præcis Uran-238 som er på 99,27 %. Andre nuklider der ville kunne henfalde til Uran-238 har en væsentlige mindre procentdel, dette har også noget af gøre med U-238’s lange halveringstid, der er på omkring år, hvorimod de andre har så lav at der ikke vil være mange kerner tilbage side deres dannelse eller siden andre kerne henfaldt til dem.[17]

Modellen anvendt stammer fra et virkeligt problem hvor man kan se at kerner henfalder, og for at kunne forklarer problemet gør man brug af matematikken. Matematikken prøver for så vidt muligt at finde samenhæng mellem de forskellige variabler.[18] Variablerne i dette problem er tiden og antal kerner som den anden variabel. Ud fra variablerne kan matematikken opgive parametret for f.eks. med hvilken procentvise rate kernen henfalder med pr. tidsenhed.
Ved brug af modellen var der en afvigelse på omkring 20 %, dette er en bemærkelsesværdig høj afvigelse hvis man udelukkende ser på modellen og ikke tager i forbehold for måleusikkerheder. Der er nemlig især bemærkelsesværdige usikkerheder ved henfald grundet, at man ikke kan forudsige præcis hvornår en kerne henfalder.
En begrænsning modeller har når de prøver at beskrive henfald er, at man ikke ved, på hvilket tidspunkt en radioaktivt kerne henfalder, men man kan kun angive sandsynligheden for henfald pr. tidsenhed.
På grund af usikkerheden om præcis hvornår kernerne henfalder er målinger taget over korte intervaller derfor ofte varierende. Gentagende målinger for samme stof vil derfor også varierer, men vil samle sig omkring en middelværdi der gerne skulle passe med model, hvis modellen er i stand til at beskrive problemet i virkeligheden.
En anden begrænsning modellen har, der også er realateret til at man ikke kan forudsige præcis hvornår en kerne henfalder, er når man måler antallet henfald over en længere periode, og antallet er meget tæt på at være ens eller nul. Eftersom at antallet ikke kan blive negativt bliver det kun tættere og tættere på nul. Måler man derfor henfald over længere perioder med tælletal tæt på 0 hvor baggrundstrålingen er trukket fra, vil det derfor blive svært at skelne mellem statistisk tilfælde og en reel beskrivende værdi. Dette er grundet at der er en mulighed for at få 0 henfald over en periode, efterfulgt af samme længde periode med 3, eller lignende, henfald hvilket ikke ville passe med modellen, men som skal tages i betragtning når man anvender modellen.

Anvendelse af integralregning til at bestemme henfald i et bestemt tidsrum.

Integralregning bruges til at bestemme en punktmængde under en graf og kan skrives op som en sætning der lydes således: Hvis grafen for funktionen altid er over x aksen i et bestemt interval, så er integrationen til funktionen, i relation til x, fra den nedre grænse til den øvre grænse af det interval være lige med arealet der er under grafen for funktionen og x aksen i det samme interval. Altså vil den matematiske funktion være: i intervallet [a;b], hvor A er arealet som grafen danner med x aksen mellem den nedre grænse a, og den øvre grænse b.[19] Den bestemte integrale skrives også som F(b) – F(a) = areal under grafen i intervallet a til b, hvor F er stamfunktion til f, defineret ved F’(x) = f(x).[20]

For at kunne bestemme antallet af kerner der henfalder i et bestemt tidsrum ville man skulle finde henfald pr. sekund, hvilket svarer til aktiviteten. Funktionen her er beskrevet ved antal kerner pr. tid, altså N/s, og ved integration får man aktiviteten som funktion af tiden altså N/s/s.[21] Denne funktion kan nu bruges til at udregne den bestemte integral for at udlede antallet af kerner for et interval. Funktionen til at regne antallet af kerner der henfalder i intervallet skrives således:

Det vil altså derfor være muligt at kunne bestemme antallet af kerner, der henfalder i et bestemt tidsrum eftersom at grafen for funktionen der dannes altid vil være over x-aksen eftersom, at der ikke kan være negativt antal kerner. Det er muligt at bestemme antallet af kerner, der teoretisk set er henfaldt endda før forsøget blev udført, da vi regner med at ustabile nuklider hele tiden henfalder. Den ustabile nuklid vil altså derfor have været i gang med at henfalde også før forsøgets start, den tid må været givet ved negative x værdier, da x værdien 0 udelukkende er fastsat af os som udgangspunkt for målingerne.

Ønsker vi at efterprøve modellens begrænsninger kan vi tage den bestemte integrale for intervaller efter lang tid efter forsøget startede. Vi kan for eksempel tage intervallet [320;350] og en anden bestemt integral med intervallet [350;380]. udregningerne vil altså se således ud:

og

Det passer fint med modellen, men ifølge målepunkter fra forsøget ser det mere ud som om at intervallet mellem 350 og 370 er det største (se bilag 5), og skyldes i stor grad, at man ikke kan forudsige præcis hvornår en kerne henfalder.

Man vil imidlertid også kunne efterprøve halveringstiden ved brug af integralregning. For at efterprøve halveringstiden kan man vælge hvilket som helst tidspunkt, så længe intervallet mellem den øvre og den nedre grænse er det samme som halveringstiden. Vi kan for eksempel sætte den nedre grænse til 100, hvilket vil sige at vi skal sætte den øvre grænse 85 sekunder efter den nedre, og vil altså være 185. Dette gælder dog kun fordi halveringstiden til forsøget blev regnet til 85 og varierer fra forsøg til forsøg. Udregningen for at efterprøve halveringstiden vil altså se således ud:

Halveringstiden efterprøves nu ved at sætte 100 i stedet for x, hvilket gerne skulle give en dobbelt så høj værdi som lige er blevet udregnet.

Forskellen i decimalerne skyldes udelukkende afrundingen af halveringstiden og er ved udregning med alle decimaler helt ens. Forklaring på anmærkning (*)er at ved brug af den bestemte integral blev resultatet negativt, men er skrevet med positiv værdi, dette skyldes at udregningen opgiver hvor stor forskellen er, og da antallet af kerner falder, da de henfalder, og ikke forøges bliver værdien negativ.

Konklusion

Som konklusion er det klart at ustabile nuklider har flere forskellige måde at henfalde på og hvilken måde den henfalder på har af gøre med især neutron og proton balancen i nukliden. Til at finde typen af henfald for et ønsket stof bliver man nød til at se på et isotopkort da der i dag er kortlagt omkring 3000 forskellige nuklider og ikke er ligetil at genkende hvordan en specifik nuklid henfalder.
For at forklarer virkeligheden med en matematisk model vil man ofte rende ind i problemer. Det er især hvis man prøver at beskrive noget der har med sandsynlighed at gøre, at man skal være opmærksom. Henfald har begrænsede variabler da temperatur, tryk og tilstand osv. har minimal indflydelse, og er her tilsyneladende let da en model kun indebærer en afhænging variabel med antal kerner, og en uafhænging variabel med tid. Man skal dog være opmærksom når man har med henfald af gøre, da den matematiske model prøver at beskrive noget der indebærer en sandsynlighed pr. tidsenhed for henfald.
Ud over en afvigelse på 20 % har modellen kunne beskrive forholdet mellem antal kerner og tiden, givet ved en eksponentiel funktion, hvilket stemmer overens med at henfaldsloven kan omskrives til en eksponentiel funktion. De største begrænsninger forbliver dog stadig, at modellen prøver at beskrive et fænomen der har med sandsynlighed af gøre, hvilket naturligt vil give variationer i resultater.
Integralregning kan let anvendes til at bestemme antal af kerner der henfalder i et bestemt tidsrum, så længe det den prøver at beskrive har graf over x-aksen. Integral kan ydermere bruges til at efterprøve halveringstiden.

Litteraturliste

Brookhaven National Laboratory. Chart of Nuclides. National Nuclear Data Center. Fundet den 9/3 2014 på http://www.nndc.bnl.gov/chart/

Clausen, F., Schomacker, G. & Tolnø, J.(2006)Gyldendals Gymnasiematematik: Grundbog B1 (1. udgave) København. Nordisk Forlag A/S.

Clausen, F., Schomacker, G. & Tolnø, J. (2007) Gyldendals Gymnasiematematik: Grundbog B2. (1. udgave) København. Nordisk Forlag A/S.

Clausen, F., Schomacker, G. & Tolnø, J. (2008) Gyldendals Gymnasiematematik: Grundbog A. (1. udgave) København. Nordisk Forlag A/S.

Nielsens, Henrik Loft. (2009). Radioaktivitet. Den Store Danske. Fundet 9/3 2014 på http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Str%C3%A5ling_og_radioaktivitet/radioaktivitet

Nielsen, Knud Erik & Fogh, Esper. (2006). Vejen til fysik: B2. (1. udgave) Silkeborg. Forlaget HAX.

Nielsen, L. J. m.fl. (2009). Fysikkens verden. (1. udgave) Italien. Bonnier Publications International AS

Bilag

Bilag 1 | Halveringstid

Bilag 2 | 4. grads polynomium til forsøg

Bilag 3 | 3. grads polynomium til forsøg

Bilag 4 | Graf over forsøg

Bilag 5 | usikkerhed for henfald (330-350 og 350-370)

[1] Side 58 | Atomkerner og radioaktivitet | Vejen til fysik

[2] Side 55 | Atomkerner | Fysikkens verden

[3] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[4] Side 55 | Atomkerner | Fysikkens verden

[5] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[6] Side 55 | Atomkerner | Fysikkens verden

[7] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[8] Side 55 | Atomkerner | Fysikkens verden

[9] Side 55 | Atomkerner | Fysikkens verden

[10] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[11] Halveringstid | Radioaktivitet | DenStoreDanske.dk

[12] Side 65 | Henfaldsloven | Vejen til fysik B2

[13] Side 145 | Eksponentiel vækst | Gyldendals Gymnasiematematik B1 Grundbog

[14] Halveringstid | Radioaktivitet | DenStoreDanske.dk

[15] Side 66 | Henfaldsloven | Vejen til fysik B2

[16] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[17] Chart of Nuclides | NNDC.BNL

[18] Side 91 | modelbegrebet | Gyldendals Gymnasiematematik B2 Grundbog

[19] Side 21 | Areal og rumfang | Gyldendals Gymnasiematematik A Grundbog

[20] Side 51 | Stamfunktioner og ubestemt integral | Gyldendals Gymnasiematematik B2 Grundbog

[21] Side 173 | Arealet under (T,V)-grafen | Vejen til fysik B2