Indholdsfortegnelse
Ebola-udbrud og SIR-modellen
Abstract
This paper accounts for the Ebola outbreak and the mathematic model SIR. It provides a description of the Ebola virus and Ebola's pathogeneses. In brief, Ebola virus infections are characterized by; immune suppression and a inflammatory response that causes impairment of the vascular system and immune systems, which leads to multi-organ failure and shock. Additionally, the paper provides a description of the mathematic model SIR. Based on the attached material, an analysis of the future prospects of Ebola has been carried out. The analysis suggests that one year after the outbreak, the population of Sierra Leone will be decreased to two million people, from an initial population of six million. Furthermore, the SIR-model's ability to provide a prediction of the outbreak has been discussed, including calculations on how much the SIR-model diverge from the provided data. Finally, an evaluation on whether or not Ebola can become airborne, and which consequences such scenario would have on the SIR model has been made. From a biological perspective, a small possibility of Ebola becoming airborne exists, since RNA replicates often, which can cause a mutation that makes Ebola airborne. However, the odds of this happening are very poor.
Indledning
I marts i år begyndte et udbrud af den farlige ebolavirus i det Vestafrikanske land Guinea. Siden har ebolaudbruddet bredt sig til flere af nabolandene, som Liberia og Sierra Leone[1]. Den farlige ebola virus har per 30. november medført 17.145 tilfælde, hvoraf 6.070 er døde oplyser WHO.[2] WHO vurderer dog, at der er mange flere tilfælde og dødsfald end der er påvist, da deres tal kun dækker de sygdomstilfælde, der har været i kontakt med sundhedsvæsenet. Ebola medfører en forfærdelig febersygdom, hvor dødeligheden er op til 90%. Sygdommen udbrød første gang i DR Congo ved Ebola-floden i 1976, men ebola-epidemiudbruddet i 2014 er det hidtil største i historien.[3]. Spredningen af ebola har medført, at den amerikanske præsident Obama har kaldt alarm og kaldt ebola 'en trussel mod den globale sikkerhed.'[4]. Det er spredningen, der er en af de værste problemer i ebolaudbruddet, da der er stor geografisk spredning af sygdommen, specielt i storbyer, hvor der er tæt bebyggede områder med dårlige sundhedsmæssige forhold.[5] Denne spredning kunne dog blive langt værre, hvis ebolavirus går hen og bliver luftbåren ligesom influenza.[6]
Opgaven vil først indeholde en redegørelse for, hvordan ebolavirus er opbygget, samt dens virkning i kroppen. Derudover vil der være en redegørelse af SIR-modellen, herunder en anvendelse af modellen på de tilgængelige data fra ebola-udbruddet i Sierra Leone i 2014. Dernæst en argumentation for valget af konstanternes størrelse i SIR-modellen, samt en vurdering af det mest sandsynlige forløb. Derefter en diskussion af anvendeligheden af SIR-modellen til en forudsigelse af ebola-epidemiudbrud, hvor jeg inddrager beregninger på, hvor meget modellen afviger fra de tilgængelige data fra opstartsperioden. Til slut vil jeg vurdere om Ebola kan blive luftbåren og herunder komme ind på, hvilke konsekvenser det vil have for modellen, hvis Ebola bliver luftbåren.
Sygdommen ebola
Ebola er en meget alvorlig virusinfektion, hvor virus formerer sig i levende celler, den lammer immunforsvaret og angriber blodkarrene. Ebola kaldes både en viral hæmoragisk febersygdom og en zoonotisk infektionssygdom, da forskere mener, at virus oprindeligt stammer fra flagermus[7] og derfra, under sjældne omstændigheder, kan smitte til andre dyr eller mennesker.[8]
Opbygningen af Ebola-virus
Ebola er en negativt enkeltstrenget RNA-virus, som tilhører gruppen Filovirus, da den har en trådlignende form i et elektronmikroskop.[9] Ebolapartiklerne har en ensartet diameter på 80 nm, men kan variere op til 14000 nm. Genomet består af 7 gener i rækkefølgen: nukleoprotein, virion protein, VP40 protein, glykoprotein, VP30 protein, VP24 og en RNA-afhængig RNA-polymerase.
Det indre ribonucleoprotein kompleks af viruspartikler, består af RNA-genomet, der er indkapslet af nukleoprotein, der arbejder sammen med VP35, VP30, og RNA-afhængig RNA-polymerase og dermed udarbejder den funktionelle transkriptase-replikase. Disse proteiner har derudover også andre funktioner; VP35 er interferon modstander, VP40 er et matrix protein og har til formål at lave partikelformation, VP24 er et strukturelt protein, der er forbundet med cellemembranen, VP24 er med til at kontrollere interferon signaleringen.[10] Ribonucleoprotein er et nukleoprotein der indeholder RNA og kombinerer ribonukleinsyre og protein sammen. [11]
Patogenese
Patogenese er de forandringer, som sker i organismen, der fører til udvikling af en sygdom, sådan at der opstår anatomiske, fysiologiske og immunologiske ændringer.[12] Viden om patogenese for ebola er stadig meget begrænset. Denne mangel skyldes bl.a. den manglende adgang til de geografiske regioner, hvor der opstår disse naturlige infektioner.[13]
De patologiske forandringer ved ebola er vaskulær permabilitet, blødning, organnekrose – altså nedsat organfunktion, som konsekvens af celle- og vævsdød og multiorgansvigt. Der sker en ukontrolleret viral replikation, som medfører en direkte celleskade på værtscellerne og organer. Immunforsvaret bliver sat ud af funktion.[14] Alt dette sker ved, at ebola-virus trænger i gennem kroppen via slimhinder, sprækker og hudafskrabninger i huden. Virus inficerer en lang række forskellige celletyper som; monocytter, dendritiske celler, makrofager, endotelceller, bindevævsstamceller, hepatocytter, binyrebarkceller, og flere typer epitelceller. Derefter laver de ukontrolleret replikation af ebolavira. Det vil sige, at den spreder infektionen via makrofager, monocytter og dendritiske celler til nogle regionale lymfeknuder, alt dette foregår højst sandsynligt gennem lymfesystemet, og via blodet til leveren og milten. Monocytter, makrofager og dendritiske celler der er inficeret med ebola-virus, vandrer ud af milten og lymfeknuderne til andre væv, for at udbrede infektionen.[15]
På nedenstående, ses en figur over ebola-virus' patogenese. Som tidligere nævnt spredes virus fra det oprindelige infektion sted (små læsioner) til regionale lymfeknuder, lever og milt. Selvom ebola virus ikke inficerer lymfocytter, vil deres cellehenfald være en del af sygdommen. Det henfald sker til dels ved deres interaktion med virale proteiner, men det betydelige tab af lymfocytter skyldes formentlig en kombination af nogle forskellige faktorer. De faktorer er bl.a. forringelse af dendritiske celler og frigivelse af opløselige stoffer fra monocytter og makrofager. Disse opløselige stoffer bidrager også til svækkelse af det vaskulære system, der fører til vaskulær lækage, som demonstreret på figur 1, som 'klumper' af endotelceller, som ses som de hvide pilespidser. Som tidligere nævnt spredes virus og der bliver lavet replikation. Derudover sker der en dysregulering af immunforsvaret, så det er ude af stand til at bekæmpe virus. Til sidst sker der en svækkelse af det vaskulære system, og man får lavt blodtryk og alt dette til sammen resulterer til sidst i chok og multiorgansvigt.
Figur 1[16]
Symptomer og spredning af ebola
Hvis man bliver smittet med ebola, følger en lang række symptomer for sygdommen. Ebola begynder pludseligt med feber, muskel- og ledsmerter, hovedpine, halssmerter, almen træthed, anoreksi. Derefter kommer opkastninger, diarré, udslæt og funktion af lever og nyrer vil også blive påvirket. I nogle tilfælde kommer der kraftige blødninger fra indre- og ydre kropsåbninger, og sygdommen kan udvikle sig til et større organsvigt. I slutstadiet bliver centralnervesystemet også påvirket og ændrer adfærd i form af hikke og kramper. [17] Inkubationstiden er i de fleste tilfælde 4-10 dage, men kan variere fra 2-21 dage. [18] Symptomerne kommer ofte omkring otte dage efter individet er blevet smittet. På grund af den lange inkubationstid giver det teoretisk set en øget mulighed for at importere smitten til andre lande. [19]
En spansk sygeplejerske blev d. 6. oktober testet positiv for ebola i Spanien. Hun havde nogle uger inden behandlet en præst i Madrid der døde af ebola, dermed blev hun smittet i sit eget land, som konsekvens af den lange inkubationstid. [20]
Som nævnt i indledningen er ebola virus ikke luftbåren og spredes dermed kun gennem kropsvæsker. Man bliver smittet ved tæt kontakt med syge personers kropsvæsker og sekreter som blod, sved, blodigt opkast eller sæd. Patienternes sekreter, blod og kropsvæsker er mest smitsomme sent i sygdomsforløbet, da virusmængden er størst på dette tidspunkt. Der er derfor flest tilfælde, hvor det er sundhedsarbejdere, der enten ikke har anvendt eller ikke har anvendt værnemidler korrekt, i form af dragter, støvler, masker etc. Mange tilfælde er også pårørende, der har haft tæt kontakt med patienter, eller personer der har deltaget i begravelsesceremonier, fx ved at gøre et lig i stand.[21]
Man skal være taknemmelig for, at ebola ikke er luftbåren, da en luftbåren virus er en virus, der kan spredes gennem luften, som enten små mikroskopiske dråber, kaldet dråbekerner eller via støvpartikler. Når folk taler, hoster eller nyser dannes disse dråbekerner, der kan svæve i luften op til flere timer. I de dråbekerne kan der være små sygdomsfremkaldene mikroorganismer, som så kan blive indåndet af raske personer, og på den måde smitte.[22] Det kaldes indirekte smitte, og er meget farlig, da man nødvendigvis ikke behøver at være det samme sted på den samme tid, men stadig kan risikere at blive smittet. En anden mulighed er støvpartikler. Da støvpartikler ofte består af hudskæl og fibre på tøj, kan bakterier fra luftvejene sætte sig på dem. Disse støvpartikler kan så blive hvirvlet op og kan blive indåndet af raske personer.[23] Jeg vil senere komme ind på hvorvidt ebola kan blive luftbåren eller ej.
Lige nu findes der ingen vaccine eller specifik behandling for ebola, dog er det danske medicinal firma, Bavarian Nordic, d. 4. september indgået en aftale med U.S. National Institute of Allergy and Infectious Diseases (NIAID), som er en del af National Institutes of Health (NIH) omkring et samarbejde for udviklingen af et ebolavaccineprogram. De planlægger at påbegynde i 2015.[24]
I øjeblikket arbejder internationale organisationer som bl.a. WHO og Læger uden Grænser arbejder kraftigt på at kontrollere udbruddet ved at isolere og behandle de syge og stoppe kontakten til syge i inkubationstiden. Overvågning og diagnostik er der også blevet sat stor fokus på og er blevet styrket i regionen. Dog er indsatsen ikke tilstrækkelig for at inddæmme udbruddet, da man hele tiden er et par uger bagud i forhold til udbruddets udvikling. Der er stor mangel på isolations- og behandlingsfaciliteter og store udfordringer med at foretage kontaktopsporing. Det betyder, at varigheden af udbruddet vil afhænge af den indsats organisationerne kommer med i de berørte lande i de kommende måneder.[25]
SIR-modellen
SIR-modellen er matematisk model der beskriver smittespredningen i et epidemiudbrud. SIR-modellen beskriver et enkelt epidemiudbrud og man skal være opmærksom på nogle biologiske faktorer, der er svære at sætte tal på i forhold til modellen. Det omhandler bl.a. smittespredningen, da det er en kompliceret proces, der er afhængig af både biologiske, sociale og adfærdsmæssige aspekter. Den viden man har om befolkningens kontaktmønstre er meget begrænset. Derfor laver man en grov antagelse og bliver nødt til at gå ud fra, at alle har den samme kontaktrate, c. Kontaktraten er defineret, som det antal effektive møder en person foretager pr. tidsenhed. Et effektivt møde er defineret som et møde, hvor det foregår mellem en modtagelig og en smittende person, og dermed vil medføre, at den modtagelige bliver smittet. Når man definerer c, bliver man nød til at gå ud fra, at alle individer i befolkningen har samme chance for at møde en person. I modellen går man ud fra at værtspopulation er lukket, det vil sige, at der hverken er emigration, immigration, fødsler eller dødsfald undervejs.[26]
Antal raske, altså individer der er modtagelige for sygdommen: kaldes S(t)
Antal syge, altså individer der er inficerede og inficererende: kaldes I(t)
Antal immune, individer der er resistente (som er blevet immune eller er døde): kaldes R(t)
Hvor parametrene er;
a: kaldet transmissionskoefficienten, defineret som det relative fald af de modtagelige forårsaget af én inficeret person over en tidsenhed. Den siger noget om sandsynligheden for at blive smittet. Her antages, som tidligere nævnt, at alle har lige stor sandsynlighed for at blive smittet. a kaldes også infektionsraten.
b: kaldet removal rate, det relative fald af de smittede over en tidsenhed. Removal raten kan også ses som en slags tærskel for hvornår epidemien topper.
ρ: b/a: kaldet relative removal rate, som er defineret som at spredningen forudsætter mindst p modtagelige personer.
c: et inficeret individ blandt N modtagelige smitter c individer pr tidsenhed[27]
Alle tre er funktioner af tiden, da de ændrer sig undervejs.
Befolkningens samlede størrelse er summen af de tre funktioner, og er konstant:
B(t) = S(t) + I(t) + R(t).
Man kan angive forløbet således:
S(t) ® I(t) ® R(t).
Man kan opstille en matematisk beskrivelse af smitteprocessen. Hvor tallet k udtrykker hvor stor en del af den samlede befolkning, man gennemsnitlig vil have kontakt med i døgnet. Det vil sige at hver syg i gennemsnit møder k × S(t) raske. Man kan opstille et eksempel, som ikke har noget med ebola at gøre, hvor befolkningens størrelse er 100.000 personer og k = 0,0005, det vil sige, at hver person i gennemsnit vil møde 0,001 × 100 000 = 100 andre personer hver dag (på arbejde, i skole, i butikker, i tog/bus osv.) Antallet af syge er I(t) og dermed vil der være k × S(t) × I(t) møder mellem syge og raske. Som tidligere beskrevet vil hvert møde ikke betyde, at den raske vil blive smittet, men i en vis brøkdel, c, af møderne vil smitten overføres. Som eksempel kan man sætte c = 0,05, hvilket betyder, at der i 5% af møderne vil blive overført smitte mellem en rask og en syg. Antallet af smitteoverførsler er proportional med det tidsrum, der er målt i døgn, man betragter. Det betyder derfor, at antallet af raske, der smittes i tidsrummet Dt, skrives som:
DS = -c × k × S(t) × I(t) × Dt = -a × S(t) × I(t) × Dt
Hvor tallet c × k er skrevet som a, og da antallet af raske falder, er ændringen DS negativ, er der foran a, sat et minustegn.
Man kan igen opstille et eksempel, der ligesom det andet, heller ikke er møntet på Ebola, hvor man antager, at sygdomsperioden gennemsnitlig er 3 døgn, og der stort set er lige mange syge i hver fase af sygdomsforløbet, vil samme brøkdel, nemlig , af de syge blive raske hvert døgn. Ligesom antagelsen om kontaktraten, er denne antagelse nok heller ikke fuldstændig korrekt, men man kan alligevel opstille et eksempel, hvor man antager, at det er samme brøkdel, b, af de syge, der bliver raske hvert døgn. Antallet af syge, der bliver raske, er også proportionalt med tidsrummet Dt. Derfor kan ændringen i antallet af immune kan? derfor angives som:
DR = b × I(t) × Dt[28]
Ændringen i de syge skyldes, at der er nogle raske, der bliver syge og dels, at nogle syge bliver raske (immune).
Man kan dermed opstille:
DI = a × S(t) × I(t) × Dt – b × I(t) × Dt
Hvor det første led er antallet af raske, der bliver syge og sidste led er antallet af syge, der bliver raske (immune).
Alt i alt kan den matematiske model for epidemien, altså udtrykkes i disse tre ligninger:
DS = -a × S(t) × I(t) × Dt
DI = a × S(t) × I(t) × Dt – b × I(t) × Dt
DR = b × I(t) × Dt
Man kan bruge ovenstående til at lave beregninger for SIR-modellen på et matematisk program, som fx Excel.
Hvis sygdommen skal udvikle sig til en epidemi, skal antallet af syge I(t) være voksende. Dette betyder, at DI skal være positiv. Dvs.:
DI > 0 Û a × S(t) × I(t) × Dt – b × I(t) × Dt > 0
Û a × S(t) – b > 0
Û S(t) >
I epidemiens startfase er S(t) meget tæt på befolkningens størrelse, B, det betyder, at befolkningen skal være større end , før der opstår en epidemi. Tallet kaldes epidemiens tærskelværdi. Hvis befolkningens størrelse er 50 000 personer, og vi antager, at a = c × k = 0,005 × 0,002 = 0,00001 og b = 0,3 så er tærskelværdien 30 000 personer, og dermed vil der opstå en epidemi.
Når man skal foretage beregninger over udviklingen af epidemien, skal man først dividere med Dt i hver af de tre ligninger, sådan at man kan omskrive dem til:
= -a × S × I
= a × S × I – b × I
= b × I
De tre ovenstående ligninger kaldes sekanthældninger. Det betyder at Dt går mod 0, sådan at , og vil gå mod differentialkvotienten og dermed får man:
= -a × S × I
= a × S × I – b × I
= b × I[29]
Man har nu tre koblede differentialligninger, da de afhænger af hinanden. Funktionerne S, I og R angiver et helt antal personer. Det vil sige, at de kun kan antage hele tal som funktionsværdier. Funktionerne er konstante, og er derfor ikke kontinuerte. Det vil sige, at kurvene ikke kan gengives med en enkelt sammenhængende streng[30]. Hvis man løser de tre differentialligninger, bliver løsningerne S(t), I(t) og R(t).[31]
Beregning af ebola-udbruddet og valg af de to konstanter
Ud fra det vedlagte bilag, har jeg benyttet de tilgængelige data fra ebola-udbruddet i Sierra Leone i 2014, til at fremstille en SIR-model over ebola-udbruddets forløb. Med det SIR-moddellen har fundet frem til, kan jeg så komme med en prognose for hele udbruddets forløb og give en vurdering af det mest sandsynlige forløb.
Når man skal lave en SIR-model, er der to konstanter, som har en væsentlig betydning; removal rate, samt transmissionskoefficienten. I programmet bliver de kaldt gamma og beta. Dvs. Gamma = removal rate og Beta = transmissionskoefficienten. For at få SIR-modellen til at passe overens med de data fra WHO, er konstanterne sat som følgende: Beta: 0,000000006 og Gamma: 0,0078.
Jeg har fundet frem til at Beta skal være 0, 000000006, da populationen N er 6 mio. mennesker skal Beta derfor være relativ lav. Derudover smitter ebola gennem kropsvæsker og sekreter, derfor vil en inficeret person ikke have mulighed for at smitte særlig mange om dagen. Samtidig må Beta heller ikke være for lav, da mange mennesker højst sandsynlig er i kontakt med de inficerede hver dag. Igen skal man være opmærksom på, at det er generalisering, som betyder, at der sagtens kan være en større smittespredning i de større byer, end fx ude på landet. Gamma er som sagt sat til 0,0078, da det er det tal, der viser faldet af smittede i døgnet. Da befolkningen er 6 mio. skal tallet være forholdsvis småt – og dog, ebola har en dødelighedsprocent på op til 90%[32], derfor er det stort set alle smittede der vil dø.
Hvis man ændrer på konstanterne, ændrer graferne sig. Hvis Beta bliver højere – her snakker vi om at gå fra 0, 000000006 til 0, 000000007, vil det betyde, at spredningen vil foregå inden for en meget kortere tidsperiode. Hvilket vil sige, at epidemien vil toppe efter meget kortere tid og folk vil blive smittet og dø inden for kort tid. Hvis Beta derimod bliver lavere, vil det betyder at spredningen bliver meget mindre, hvis blot man går fra 0, 000000006 til 0, 000000005 betyder det for ebolaudbruddet, at epidemien først topper efter 475 dage i stedet for 375 som den gør, men det vil jeg komme ind på senere.
Hvis man ændrer på Gamma, siger det noget om hvor mange, der bliver raske eller dør af sygdommen. Det vil sige, at hvis Gamma bliver lavere og bliver ændret fra 0,0078 til 0,003, vil det betyde at flere vil blive inficerede hurtigere, hvilket betyder at der inden for kort tid, ikke er flere raske, men til gengæld går der længere tid, før folk dør. Hvis Gamma bliver højere, betyder det, at mange flere vil dø over en kortere tidsperiode.
Figur 2
På den ovenstående figur ses en graf for, hvordan ebola-udbruddet har forholdt sig indtil videre. Op ad y-aksen ses antallet af personer, som er blevet sat til 5000 personer for at få et billede af funktionen. Hen ad x-aksen ses tiden i døgn, som er sat til 100 dage, da kildematerialet slutter ved dag 81. Prikkerne er data fra WHO og kurven er SIR-modellen. Som man kan se på den ovenstående figur, følger SIR-modellen ikke 100% korrekt de data fra WHO, det skyldes nogle faktorer, jeg vil komme ind på senere. Som man kan se afviger data meget fra grafen mellem dag 40 og 80, det skyldes et 'hul' hvor der mangler noget data fra WHO's hjemmeside. Dog er spørgsmålet om det er data mellem dag 40 og 60, der er fejl i eller om det er mellem dag 60 og 80. Dag 40 svarer til d. 8. oktober, hvor der på WHO's hjemmeside ikke er fejl i data, derfor må man gå ud fra, at det er korrekte tal. Dog er der ved dag 61, d. 29. oktober mangel på data, hvor der på WHO's hjemmeside står 'data not available'. På det udleveret datasæt, bilag 2, kan det ses, at ud fra d. 27. og 29. oktober er en høj stigning af døde, hvorpå den så falder markant d. 2. november. Der er ikke fejl i data fra d. 2. november og frem, så det tyder på at problemet opstår mellem d. 27. og 29. oktober. Mangel på data kan skyldes flere ting, så som fejl i deres dataindsamling eller at nogle individer kan være blevet klassificeret ukorrekt. Det er svært at sige, og man kan heller ikke konkludere noget korrekt, da der ikke er noget information om det på WHO's hjemmeside.
Figur 3
Hvis man ser på hvad SIR-modellen forudser i forhold til data fra WHO, kan man tydeligt se at der er tale om en epidemi. Det kan man dog også finde ud af på en anden måde. Ved at finde tærskelværdien hvis tallet er større end populationen, er der tale om en epidemi, som også er nævnt tidligere.
Hvis ikke man finder en vaccine eller får isoleret de inficerede sådan at sygdommen ikke spredes videre, vil antallet af inficerede toppe ca. 375 dage efter udbruddet, omkring dag 200 vil der ske en kraftig stigning af antallet af døde og inficerede, hvilket betyder at populationen vil falde markant. Ca. 1 år efter udbruddets begyndelse, vil populationen være under 2 mio. mennesker og kun 400 dage efter udbruddet begyndelse vil populationen i Sierra Leone være under 1 mio. mennesker.
SIR-modellens anvendelighed til forudsigelse af ebola-epidemiudbrud
Når man benytter SIR-modellen tager man nogle grove antagelser undervejs. Pga. disse kan selve kurven afvige fra de reelle data. Antagelsen om at alle individer har samme kontaktrate, er biologisk set ukorrekt, da det giver et forkert billede af smittespredningen. Man antager også, at værtspopulationen er lukket, dvs. ingen fødsler, dødsfald, emigranter eller immigranter, som heller ikke er korrekt. Dog er disse biologiske faktorer ikke nogle, der spiller en kæmpe rolle i det store billede. Alt i alt kan SIR-modellen give et udemærket billede på, hvordan ebolaudbruddet kan forløbe, hvis spredningen ikke bliver stoppet. Man skal hele tiden tænke, at det er en matematisk model, der forudsiger noget om fremtiden for udbruddet, derfor skal man altså ikke holde sig helt til den, idet den ikke tager højde for alting. Der er nogle fejlkilder, der også spiller en rolle, bl.a. det store udsving i tallene, hvor der var fejl i data fra WHO. Det kan spille en stor rolle for forudsigelsen, da det har resulteret i, at grafen afviger rigtig meget fra dataet. En anden fejlkilde er at i det bilag, jeg har fået udleveret, er der en hel del fejl i nogle af datoerne. Data er indsamlet fra WHO, men undervejs må der være sket noget, som gør at der er blevet tastet nogle forkerte datoer ind i forhold til dem på WHO's hjemmeside[33]. Men da der ikke er fejl i de reelle data af smittede og immune, samt det kun handler om små afvigelser i form af 1-2 dage, er det ikke noget, der har nogen indflydelse på SIR-modellens forudsigelse. Foruden de antagelser, der bliver lavet undervejs, er der nogle faktorer SIR-modellen ikke tager højde for: aldersgruppe, køn, socialgruppe samt hvordan individernes helbredsmæssige status er. [34]
Afvigelse fra data
Det ses tydeligt på figur 2, at grafen afviger fra de data fra WHO. Jeg har lavet nogle beregninger på, hvor meget SIR-modellen afviger fra data om de syge og de immune fra WHO, med formlen:
På nedenstående tabel ses SIR-modellens afvigelse fra data over de syge I(t). Op til dag 25 afviger modellen op 16,3%, hvilket er rimeligt. Som nævnt før, er modellen en mulig afbildning af fremtiden, men ikke noget man konkret kan holde sig helt til. Ved dag 30 og 33 afviger modellen henholdsvis 19,65% og 18,59%, hvilket er meget. Det påvirker modellens pålidelighed meget. Dog sker der efterfølgende det, at modellen går hen og passer data næsten. Ved dag 44 og 46, er det kun 0,75% og 0,2% modellen afviger fra data. Dog afviger modellen generelt ret meget, men man kan dog stadig godt bruge SIR-modellen, som en form for skitse af fremtiden, men man skal hele tiden være opmærksom på at grafen for de syge afviger med næsten 20%.
Syge I(t):
Dage: | Data fra WHO | SIR-modellen | % afvigelse |
0 | 604 | 604 | 0% |
7 | 770 | 735,6048 | 4,68% |
8 | 852 | 756,6133 | 12,61% |
9 | 900 | 778,2216 | 15,65% |
15 | 1058 | 921,4625 | 14,82% |
16 | 1111 | 974,844 | 14,01% |
21 | 1220 | 1091,061 | 11,82% |
23 | 1343 | 1154,264 | 16,35% |
25 | 1416 | 1221,128 | 15,96% |
30 | 1682 | 1405,72 | 19,65% |
33 | 1814 | 1529,607 | 18,59% |
37 | 1910 | 1711,929 | 11,57% |
40 | 2020 | 1862,789 | 8,44% |
44 | 2069 | 2084,803 | 0,75% |
46 | 2210 | 2205,538 | 0,2% |
51 | 2447 | 2538,837 | 3,62% |
54 | 2615 | 2762,511 | 5,33% |
59 | 3732 | 3179,906 | 17,36% |
61 | 3828 | 3364,003 | 13,79% |
65 | 3689 | 3764,754 | 2,01% |
67 | 3732 | 3982,674 | 6,29% |
72 | 4199 | 4584,197 | 8,4% |
74 | 4399 | 4849,486 | 9,29% |
79 | 4823 | 5581,73 | 13.59% |
81 | 4923 | 5904,655 | 16.63% |
På nedenstående tabel ses SIR-modellens afvigelse fra data over de immune R(t). Generelt frem til dag 37 stemmer modellen nogenlunde overens med hvad data siger, men fra dag 37 stiger afvigelsen markant. På dag 44 afviger modellen med 42,93% og falder først igen til en rimelig afvigelse på 16% omkring dag 65 og 67. Dog kan denne markante afvigelse sagtens skyldes den fejl i data, som tidligere blev nævnt. Modellen prøver derfor at finde en nogenlunde passende kurve. Da der er så store sving i data, vil det medføre at der er store afvigelser. Hvis ikke der havde være fejl i data, ville det højst sandsynlig have givet en mindre afvigelse. Pga. den meget høje afvigelse, gør det modellens pålidelighed væsentlig ringere.
Immune R(t):
Dage: | Data fra WHO | Data fra SIR-modellen | % afvigelse |
0 | 422 | 422 | 0% |
7 | 491 | 458,1781 | 7,26% |
8 | 509 | 463,9499 | 9,71% |
9 | 524 | 466,897 | 12,23% |
15 | 562 | 509,212 | 10,37% |
16 | 562 | 516,433 | 8,82% |
21 | 593 | 555,7329 | 6,71% |
23 | 597 | 573,0594 | 4,18% |
25 | 605 | 591,384 | 2,31% |
30 | 622 | 641,9465 | 3,11% |
33 | 623 | 675,8613 | 7,82% |
37 | 879 | 725,7477 | 21,12% |
40 | 930 | 767,0047 | 21,25% |
44 | 1183 | 827,6905 | 42,93% |
46 | 1200 | 860,6786 | 39,43% |
51 | 1259 | 951,6997 | 32,29% |
54 | 1281 | 1012,75 | 26,49% |
59 | 1500 | 1126,613 | 33,14% |
61 | 1510 | 1176,811 | 28,31% |
65 | 1070 | 1286,04 | 16,8% |
67 | 1130 | 1345,414 | 16,01% |
72 | 1169 | 1509,231 | 22,54% |
74 | 1187 | 1581,449 | 24,94% |
79 | 1250 | 1780,699 | 29,8% |
81 | 1267 | 1868,272 | 32,18% |
Alt i alt vil jeg mene, at modellen er udmærket, når man skal have en forudsigelse af ebolaudbruddet. Dog er der en del faktorer og afvigelser, der gør modellens forudsigelse usikker. Når en model afviger op til 42,93% er det virkelig meget, og det vil klart påvirke resultatet af grafen. Hvis man havde mere data, ville fejlen omkring d. 27. og 29. oktober heller ikke have ligeså så stor betydning. Selv pga. de grove antagelse om de biologiske faktorer der ikke bliver taget højde for, vil jeg mene, at modellen giver et fint billede på, hvordan ebolaudbruddet kan komme til at foregå, hvis ikke spredningen bliver stoppet.
Ebola, er som tidligere nævnt en RNA-virus. RNA-virus replicerer oftere end DNA, dermed sker der ofte mutationer af RNA-vira. Jo flere mutationer, jo større er sandsynligheden for, at ebola kan blive luftbåren. Så der er dermed en reel chance for at ebola kan blive luftbåren. Hvis denne ændring skete, ville det betyde at bare ved at trække vejret, ville man være udsat for at blive smittet og inden for kort tid, ville der være en chance for, at sygdommen ville være spredt over hele kloden.[35]
'Virologisk set er det en mulighed, og jo flere mennesker der bliver smittet, jo større er risikoen. Når en virustype som ebola muterer hele tiden, kan man i teorien godt forestille sig, at den tilfældigt tilegner sig egenskaber, som gør, at den spredes på en anden måde,' siger Anders Fomsgaard, professor og leder af virusforskning og udviklingslabolatoriet på Statens Serum Institut. Han understreger dog, at der er tale om gætværk.[36]
En undersøgelse, der fornyligt er foretaget, viste at ebola allerede har skiftet arvemateriale mange gange.[37] Men selvom ebola, har muteret op til flere gange, mener Julian A. Hiscox, at det er usandsynligt, at mutationerne vil gøre ebola luftbåren.
'Der er ikke nogen konkurrencemæssig fordel i det, for ebola spreder sig fint i forvejen,' siger Julian A. Hiscox, som er ledende professor og virulog ved Institut for Infektion og Global Sundhed på University of Liverpool.[38]
Der er derfor uenighed blandt professorerne om, hvorvidt ebola kan blive luftbåren eller ej.
Epidemilægen Dr. Amesh Adalja fra University of Pittsburgh, USA, fortæller at, for at ebola bliver luftbåren kræves det en helt særlig – og usandsynlig – række af omstændigheder. Dr. Amesh Adelia påstår derudover også at en sådan mutation formentlig vil føre til andre mutationer, som omvendt kan gøre virussen mindre dødelig.[39]
Der er ingen af forskerne der afslår det fuldstændig, så sandsynligheden er der.
I et debatindlæg i New York times skriver Micheal T. Osterhold:
' In 2012, a team of Canadian researchers proved that Ebola Zaire, the same virus that is causing the West Africa outbreak, could be transmitted by the respiratory route from pigs to monkeys, both of whose lungs are very similar to those of humans.'.[40]
Han fortæller om en canadisk undersøgelse fra 2012[41], hvor man påviste at ebola kunne smitte fra grise til aber. Forsker Kristian Andersen er dog dybt uenig i, at de canadiske studier har bevist, at ebola kan være luftbåren:
'Der har været studier, der viste, at ebola måske var luftbåret fra grise til aber, men disse studier var ikke gode nok til at bevise, at det rent faktisk skete – og mennesker er selvfølgelig heller ikke grise. Senere studier – der brugte den samme stamme af ebola – viste, at virusset ikke var luftbåret imellem aber,' udtaler Kristian Andersen fra Harvard University.
Rent biologisk set er der en mulighed for at ebola kunne blive luftbåren, men sandsynligheden er lille. Blandt forskerne er der delte meninger om, hvorvidt ebola vil blive luftbåren eller ej. Fælles er dog, at ingen af forskerne benægter skrækscenariet fuldstændig, måske af frygt for at tage fejl. De er alle enige om at chancen er der, nogle mere end andre, så det vides ikke om ebola bliver luftbåren eller ej. Alt i alt, er det ikke noget folk bør frygte, da sandsynligheden er så lille.
Forandringer for SIR-modellen
Hvis det skete at ebola blev luftbåren, vil antallet af smittede stige markant, og derved også ændre SIR-modellen. Beta, b, defineret som det relative fald af de smittede over en tidsenhed, vil stige i og med at mange flere vil blive smittet inden for kort tid. Det samme vil ske for Gamma, i og med at transmissionskoefficienten vil stige. Det vil betyde at inden for meget kort tid, vil populationen i Sierra Leone uddø. Sygdommen vil også blive spredt til alle dele af verden, og med mindre at en vaccination snart kommer frem eller at de smittede bliver 100% isoleret, kunne det betyde et stort fald af verdens befolkningen.
På ovenstående ses en simulering af et influenzaforløb[42]. Influenza er en luftbåren sygdom.
Op af y-aksen ses befolkningen i procent og hen ad x-aksen ses tiden sat i dage. På denne SIR-model er transmissionskoefficienten sat til 1,8 og removal rat sat til 0,7. Det er godt billede på, hvordan en luftbåren sygdom forløber. Det ses tydeligt, at det er inden for kort tid at størstedelen af befolkningen vil blive smittet og at epidemien vil toppe efter blot 4 dage. Her ses dog, at der er ca. 10 % af befolkningen der ikke vil blive smittet, evt. fordi de er immune, men det ville ikke være tilfældet for ebola. Selvom denne SIR-model viser et forløb for influenza, kan det give et godt billede på, hvad der ville ske med en SIR-model for ebola, hvis ebola bliver luftbåren. Det er langt fra sikkert at ebola vil forløbe ligesom influenza, men chancen er der.
Konklusion
Sammenfattende kan man sige at, ebola er en RNA-virus, der består af 7 gener; nukleoprotein, virion protein, VP40 protein, glykoprotein, VP30 protein, VP24 og en RNA-afhængig RNA-polymerase. Derudover består det indre ribonucleoprotein kompleks af viruspartikler, der består af RNA-genomet, der er indkapslet af nukleoprotein, der arbejder sammen med VP35, VP30, og RNA-afhængig RNA-polymerase og dermed udarbejder den funktionelle transkriptase-replikase. Når man bliver smittet med ebola, betyder det at der inde i kroppen sker en vaskulær permabilitet, der forekommer blødninger, nedsat organfunktion og multiorgansvigt. Ud over det sker der også en ukontrolleret viral replikation, som medfører at der kommer direkte celleskade på værtscellerne og organer. Immunforsvaret kan ikke bekæmpe ebola, da det bliver sat ud af funktion. Hvis man bliver smittet med ebola, vil man inden for kort tid mærke symptomer i form af feber, muskel- og ledsmerter, hovedpine, halssmerter, almen træthed, anoreksi. Derefter vil der komme opkastninger, diarré, udslæt og funktion af lever og nyrer vil også blive påvirket. Man bliver smittet af ebola ved man kommer ved tæt kontakt med syge personers kropsvæsker og sekreter som blod, sved, blodigt opkast eller sæd.
SIR-modellen er en model der beskriver en epidemis udvikling. Modellen er bygget på tre koblede differentialligninger, som afhænger af tid; S(t), I(t) og R(t). I SIR-modellen taler man om to væsentlige konstanter a og b. a: kaldet transmissionskoefficienten, der siger noget om sandsynligheden for at blive smittet. b: kaldet removal rate, som er det relative fald af de smittede over en tidsenhed. Man kan også bruge removal raten som en slags tærskel for, hvornår epidemien topper. Med konstanterne sat som; Beta: 0,000000006 og Gamma: 0,0078 vil det betyde at antallet af de inficerede vil toppe omkring 375 dage efter udbruddet og at blot et år efter udbruddets begyndelse vil populationen i Sierra Leone være faldet med 4 millioner og dermed være nede på kun 2 mio. mennesker. Selve modellen er udmærket, når man skal lave en forudsigelse af epidemiudbrud for ebola, dog er der store afvigelser op til 42,93% samt nogle biologiske faktorer som alder, kontaktmønster, smittespredning etc., som der ikke bliver taget højde for. Derfor skal man som alle andre matematiske modeller ikke støtte sig fuldstændig til modellen og gå ud fra at forløbet vil foregå 100% som SIR-modellen forudsiger. Derudover kan man også konkludere at SIR-modellen vil ændre sig fuldstændig, hvis ebola bliver luftbåren. Forskere mener dog, at sandsynligheden for at det vil ske er lille, men rent biologisk set er der en mulighed, da RNA replicerer ofte og det ville kunne medføre en mutation der gør, at ebola vil blive luftbåren.
Bilag 1
Model over Ebola-virus' patogenese
Bilag 2
Litteraturliste
- Andreassen, V. (2004) Introduktion til matematisk infektionsepidemiologi.
- Brix, L. (2014, 19 september) Kan ebola blive luftbåren? dk. Fundet d. 29 november på:
http://videnskab.dk/sporg-videnskaben/kan-ebola-blive-luftbaren
- Brix, L. (2014, 23 september) Sådan kan ebola komme til at smitte via luftveje. Jyllands-posten. Fundet d. 5 december på: http://jyllands-posten.dk/nyviden/ECE7038234/sadan-kan-ebola-komme-til-at-smitte-via-luftveje/
- Fabiansen, C. Konborg G, Thybo. S., og Nielsen. J. O. (2008, 24 november). Ebola – hæmoragisk feber. Ugeskrift for læger. Fundet d. 25 november på: http://ugeskriftet.dk/videnskab/ebola-haemoragisk-feber
- Feldmann, H. (2011, 5 marts). Ebola haermorrhagic fever. The Lancet. Fundet d. 25 november på: http://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(10)60667-8/fulltext
- Gire, S.K m.fl. (2014, 28 august) Genomic surveillance elucidates Ebola virus origin and transmission during the 2014 outbreak. Fundet d. 7 december på: http://www.sciencemag.org/content/345/6202/1369.full
- Jessen, C., Møller, P. & Mørk, F. (1999) Integral og sandsynlighedregning.
- Jørgensen, C. m.fl. (2002) 2 projekter om modellering af influenzaepidemier. Fundet d. 15 december på: http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/410.pdf
- Læger uden grænser. (u.å) Ebola. Læger uden grænser. Fundet d. 15 november på: http://msf.dk/sygdomme/ebola/
- Møller, J.K. (2010) Klinisk Mikrobiologi. (2. Udg). Gads Forlag.
- Møller, J. M. (u.å) Matematik for biologer. Matematisk Institut.
- C. (2014, 18 september). Forskere: Luftbåren ebola er usandsynlig. Illustreret Videnskab. Fundet d. 7 december på: http://illvid.dk/nyheder/forskere-luftbaaren-ebola-er-usandsynlig
- Osterholm, M.T. (2014, 11 september) What We're Afraid to Say About Ebola. The New York Times. Fundet d. 7 december på: http://www.nytimes.com/2014/09/12/opinion/what-were-afraid-to-say-about-ebola.html?_r=0
- Priisholm K, Nygaard, F, T & Pedersen, L. A. (2007, 7 april) Epidemier og epidemimodeller. Fundet d. 10 december på http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_bio/Epidemier/Epidemier.pdf
- (2014, 17 september) Obama: Ebola er en global sikkerhedstrussel. DR. Fundet d. 10 december på: http://www.dr.dk/Nyheder/Udland/2014/09/17/0917064743.htm
- (2014, 6 oktober). Spansk sygeplejerske smittet med Ebola i Spanien. TV2 nyhederne. Fundet d. 4 december på: http://nyhederne.tv2.dk/udland/2014-10-06-spansk-sygeplejerske-smittet-med-ebola-i-spanien
- (u.å). Definition of Ribonucleoprotein. Medicinenet.com. Fundet d. 6 december på
http://www.medicinenet.com/script/main/art.asp?articlekey=15258
- (u.å.). Kontinuert. I: Den Danske Ordbog. Fundet d. 9 december på http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=kontinuert
- (2014, 4 september) BAVARIAN NORDIC FREMSKYNDER UDVIKLINGEN AF EN NY EBOLAVACCINE I SAMARBEJDE MED U.S. NATIONAL INSTITUTES OF HEALTH. Bavarian Nordic. Fundet d. 6 december på: http://www.bavarian-nordic.com/investor/dk/news.aspx?news=4074
- (2014, 5 december). Tema om udbrud af ebola i Vestafrika. Statens Serum Institut. Fundet d. 3 december på: http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
- Østergaard, C. (2011). Grundlæggende mikrobiologi og infektionsmedicin. København: Munksgaard Danmark.
- Weingartl, H. M, m.fl. (2012, 28 september) Transmission of Ebola virus from pigs to non-human primates. Scientific Reports. Fundet d. 7 december på: http://www.nature.com/srep/2012/121115/srep00811/full/srep00811.html
[1] Ukendt http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[2] Ukendt http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[3] Læger uden grænser http://msf.dk/sygdomme/ebola/
[4] http://www.dr.dk/Nyheder/Udland/2014/09/17/0917064743.htm
[5] Ukendt http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[6] Brix, L http://videnskab.dk/sporg-videnskaben/kan-ebola-blive-luftbaren
[7] Fabiansen. C, Konborg G, Thybo. S., og Nielsen. J. O. S, 1
[8] Møller, J. K s. 253
[9] Ukendt. http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[10] Dr. Feldmann H. s.1
[11] Ukendt http://www.medicinenet.com/script/main/art.asp?articlekey=15258
[12]Ukendt.http://www.denstoredanske.dk/Krop,_psyke_og_sundhed/Sundhedsvidenskab/Sundhedsvidenskabernes_terminologi/patogenese
[13] Dr. Feldmann H. s.5
[14] Fabiansen. C, Konborg G, Thybo. S., og Nielsen. J. O.s. 2
[15] Feldmann H. S. 6
[16] Feldmann, H.
[17] Fabiansen, C. Konborg G, Thybo. S., og Nielsen. J. O s. 2
[18] Ukendt. http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[19] Fabiansen, C. s. 3
[20] Ritzau. http://nyhederne.tv2.dk/udland/2014-10-06-spansk-sygeplejerske-smittet-med-ebola-i-spanien
[21] Ukendt. http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[22] Østergaard. C. s. 241
[23] Østergaard. C. s. 242
[24] Ukendt. http://www.bavarian-nordic.com/investor/dk/news.aspx?news=4074
[25] Ukendt. http://www.ssi.dk/Aktuelt/Temaer/Sygdomsudbrud/Ebolatema.aspx
[26] Andreasen , V. s. 6
[27] Møller M. J. S. 37
[28] Jessen, C. Møller, P. & Mørk. F. s. 142
[29] Jessen, C. Møller, P. & Mørk. F. s. 143
[30] Ukendt. http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=kontinuert
[31] Jessen, C. Møller, P. & Mørk. F. s. 144
[32] http://msf.dk/sygdomme/ebola/
[33] http://www.who.int/csr/disease/ebola/situation-reports/archive/en/
[34] Priisholm K, Nygaard, F, T & Pedersen, L. A s. 4
[35] Brix, L. http://videnskab.dk/sporg-videnskaben/kan-ebola-blive-luftbaren
[36] Brix, L. http://jyllands-posten.dk/nyviden/ECE7038234/sadan-kan-ebola-komme-til-at-smitte-via-luftveje/
[37] Gire, S.K m.fl.
[38] Brix, L. http://videnskab.dk/sporg-videnskaben/kan-ebola-blive-luftbaren
[39]Nymann. C. http://illvid.dk/nyheder/forskere-luftbaaren-ebola-er-usandsynlig
[40] Osterholm. M. T. http://www.nytimes.com/2014/09/12/opinion/what-were-afraid-to-say-about-ebola.html?_r=0
[41] Weingartl, H. M, m.fl
[42] Jørgensen, C. m.fl s. 24
Aje skriver
Hej! Jeg skriver om ebola og SIR-modellen i min SRP, og kunne rigtig godt tænke mig at spørge dig om et par ting vedr. dine grafer, hvis det er okay? :^)
Det ville være en stor hjælp, hvis du kunne vende tilbage snarest!
Dbh
Aje
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Aje,
Det er ikke min SRP, men jeg vil meget genre give et forsøg på at forklare graferne. Du kan bare skrive spørgsmålene her 🙂
Aje skriver
yes, tak skal du have! Det er egentlig bare fordi det ligner, at figur 2 og 3 er lavet i excel, og så ville jeg gerne spørge om hvordan man har fået graferne for S, I og R til at komme frem?
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Aje,
Først og fremmest er det ikke min SRP, men en der er blevet indsendt. Ud fra billederne ligner det rigtig nok excel. Jeg vil tro man har haft noget data, og lavet en regression af disse data. Det er i hvert fald mit gæt 🙂
Aje skriver
Ja okay, tak :^) Ved du hvad vedkommende fik i karakter for sin SRP, egentlig?
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Ane,
Personen har enten fået 10 eller 12. Det er vores krav 🙂
Joakim skriver
Hej,
Jeg sidder, og skal til at skrive SRP i netop ovenstående emne. Jeg syntes det er en super god opgave, og ville derfor låne nogle kilder.
Jeg er rigtig interesseret i [10] Dr. Feldmann H. s.1 kilden. Men kan ikke finde ud af hvilken bog, eller hvad det nu er 😛
VH Joakim
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Joakim,
Der står dette i litteraturlisten 🙂
“Feldmann, H. (2011, 5 marts). Ebola haermorrhagic fever. The Lancet. Fundet d. 25 november på: http://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(10)60667-8/fulltext“
Simone skriver
Jeg har fundet data’er på denne hjemme side, hvor de skriver at de har fundet det fra WHO
http://www.cdc.gov/vhf/ebola/outbreaks/2014-west-africa/cumulative-cases-graphs.html
Simone skriver
Hej
Jeg sidder med min SRP og har om præcis det samme emne. Jeg syntes det er en rigtig god opgave at få inspiration fra. Men jeg kan simpelhen ikke finde ud af,hvor personen har fundet data’erne henne på WHO hjemme side.
Jeg håber du kan hjælpe mig!
M.v.h
Simone
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej SImone,
I følge litteraturlisten er data funde her: http://www.who.int/csr/disease/ebola/situation-reports/archive/en/
God fornøjelse 🙂
Simone skriver
Tak for dit svar, dog hjælper det ikke så meget, da jeg allerede havde kigget på siden uden held 🙂
SimoneJ skriver
Hej
Hvilket land skriver du i?
Skriver også om Ebola, måske vi kan udveksle gode kilder? (:
Jeg har data for 3 lande, Guinea, Liberia og Sierra Leone
Mvh. SimoneJ
Joakim skriver
Hej Simone,
Jeg ville meget gerne høre, hvor har du fået data’en fra, da jeg også har søgt i flere timer efter antallet af inficerede pr dag. 🙂
VH Joakim
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej alle sammen,
Jeg har fundet følgende link, hvor i kan finde data omkring emnet:
http://apps.who.int/ebola/ebola-situation-reports
SimoneJ skriver
http://www.cdc.gov/vhf/ebola/outbreaks/2014-west-africa/cumulative-cases-graphs.html
Under hver graf er der et link til en Excel fil for hvert land.
Du/I lægger ikke inde med en eller to gode kilder om “En general definition og beskrivelse af hvad der forståes ved koblede differentialligninger”.
– Simone
Anita skriver
Hvordan har vedkommende kommet frem til, at beta og gamma skal 0,000000006 og 0,0078? 🙂
Anita skriver
skal være*
Anita skriver
Jeg har fundet ud af det!
Emil Leth skriver
Må jeg spørge hvordan du har fundet ud af det? Jeg sidder nemlig og mangler lige præcis de to konstanter for at kunne komme videre 😀
Kristine skriver
Hej, jeg vil blot gøre opmærksom på en væsentlig fejl i opgaven. I skriver i afsnitten om SIR-modeller, at konstanten, k, skal ganges med S(t), hvorefter opgaven giver et eksempel på en population på 100.000 personer, men så ganges der med en anden konstant, end den der lige er blevet oplyst. Jeg ved ikke, om I har mulighed for at rette i jeres opgaver? 🙂
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Kristine,
jeg har desværre ikke mulighed for at rette i opgaven 🙁 Jeg håber dog dine rettelser vil blive læst af de besøgende.
Anna Rebecca skriver
Hej Alexander Leo-Hansen
Jeg skriver selv om SIR pt. men kan ikke helt forstå din måde at udlede konstanternes størrelse? Altså removal og transsmission. Kan du forklare din fremgansmetode, eller hvor du har dine data fra, ift. til dette?
Alexander Leo-Hansen skriver
Hej Anna,
Jeg har ikke selv lavet opgaven, men prøv at hent den som PDF, så kan du se mere detaljeret 🙂
Emma skriver
Hej, kender du flere informationer om bogen “Møller M. J.” S. 37 som er brugt som kilde 27? Eller om du evt. ved om der er andre steder det står beskrevet?
Alexander Leo-Hansen skriver
Det kender jeg desværre ikke til, du kan prøve at downloade opgaven som PDF 🙂
Laura skriver
Hej
Jeg skal til at skrive SRP i samme emne og ville egentlig bare høre hvad problemformuleringen lød i hende/hans opgave?
:)) Tak for svar