SRP: Kvantemekanik og Schrødingerligningen

Kvantemekanik og Schrødingerligningen

Abstract

This paper will examine the theories in quantum physics that led to the development of the Schrödinger equation. For an instance the double-slit experiment conceived by Thomas Young.
It will also focus on the mathematic basis that underlines the Schrödinger equation, one of them is the 2nd order linear differential equations. Furthermore will this paper examine and discuss the hydrogen atom with the involvement of the Schrödinger equation and Bohrs energy equations.
at last I will assess the significance of the quantum mechanic theories and especially the Schrödinger equation for today’s quantum physics. Taking everything in to consideration, the 1900’s experiments and philosophical thinking has been the foundation to all of today’s experimental trials concerning the origin of the universe, and how everything and every single particle still stick together. What I will elaborate in this study I all the above mentioned and a lot more.

Indledning

I nutidens Danmark har forskere styr på hvordan verden hænger sammen ned til ret små detaljer. Det generelle verdensbillede består af elementarpartikler og deres vekselvirken. Alt består af disse små elementarpartikler, og alt vi kender til er i bund og grund bygget med de samme byggesten. Alligevel er der så meget vi endnu ikke ved og forstår endnu, men forskere arbejder på højtryk for hele tiden at opdage noget nyt og få et større indblik i universets skabelse og dets opbygning. Derfor synes jeg at kvantemekanikken er et meget spændende emner som kunne være sjovt at gå lidt i dybden med. Kvantemekanikken var en teori der startede i 1900-tallet, og det omhandler partikler og deres fysikske egenskaber helt ned i et mikroskopisk plan på . Dette gør det til et meget svært emne at behandle da man ikke ummidelbart kan se hvad der foregår. Så de førende fysikere arbejdede i starten af 1900-tallet på at udtænke forsøg og forstille sig teoretiske forsøg samt udvikle formler der stemmer overens med de eksperimentielle data. Alt dette blev samlet til kvantemekanikken som en stor del af fysikken ny bygger på.
det ekstraordinære med kvantemekanikken var at det brød med den klassiske fysik, der blev grundlagt af Isaac Newton. Og det var dermed en helt ny facet til fysikken og en helt ny æra af udregninger og grundlægning af hvilke bestanddele der findes, noget der stadig finder sted den dag i dag. Jeg vil i dette projekt redegøre for nogle forskellige teorier der sammen førte tid udviklingen af Schrödingerligningen, en ligning der kan benyttes til at bestemme sandsynlighedne for en elektrons position omkring en atomkerne. Derudover vil jeg redegøre for den bagvedliggende matematik og dertil analysere det simpleste atom, brintatomet, Ved at benytte Schrödingerligningen. Og til sidst vil jeg se på hvad det 20’ende århundredes udarbejdning at kvantemekanikken har haft af betydning for etertidens kvantefysik og matematik.

Kvantemekanikken

Niels Bohr offentliggjorde i 1913, hans teorier om brintatomet og elektronernes baner. Han byggede her videre på Ernest Rutherford’s atommodel fra 1911. Han tilførte modellen det, at elektroner kunne findes i stationære og dynamiske tilstande. Elektroner bevæger sig altså rundt i kvantebaner med et specifik energi, og hvis der så sker en kvantisering, hvor der tilføres energi, så vil de opnå en exciteret tilstand, og kan lave et kvantespring til en af de mere yderliggende baner. Denne teori gik imod det førtidige opfattelse af at elektronen bevægede sig i kontinuerte baner rundt om kernen, men teorien viste sig at holde, da det førte til vellykkede forudsigelser, som den førnævnte teori ikke kunne udlede.

Stofbølger

Indenfor kvantemekanikken er en af grundstenene, teorien om partikel-bølge dualitet.
I store træk går det ud på, at stof er i stand til, at være både en partikel og en bølge på én gang.
teorien startede med at gælde for lyskvanter(fotoner). Der var partikler, men også havde bølgeegenskaber. Dette beviste Thomas Young omkring år 1805 ved dobbeltspalteeksperimentet. Senere er dette forsøg blevet udført med elektroner. Det viste sig at disse partikler også agerede som bølger, ligesom fotonerne. Når elektroner ses som bølger vil amplituden være givet ved partiklens energi.

De bølger der blev påvist kaldes for stofbølger, og er den bølger som knyttes til en partikel i bevægelse samt udviser interferensmønstre. Disse bølger er forskellige fra andre bølger, da man ikke kan tillægge fasehastigheden(den hastighed en bølgetop bevæger sig med) noget fysisk indhold. Det kan man ikke fordi fasehastigheden for en stofbølge er givet ved ,
og da partiklen hastighed altid vil værfe mindre end lysets hastighed, vil fasehastigheden derfor være højere end lysets hastighed.
Derfor ser man på stofbølger som en bølgepakke der fremkommer ved en superposition af to forskellige bølger. De to bølger interfererer og skaber dermed en fremadskridende bølgegruppe. Hvis man øger mængden af bølgegrupper ved at øge frekvensen, vil der til sidst kun være én bølgepakke, da de andre udslukkes ved destruktiv interferens. Denne ene bølgepakke er den stofbølge, og dens bølgehastighed er lig partikelhastigheden.

Youngs dobbeltspalteeksperiment

Thomas Young var en britisk fysiker der i 1801 lavede det banebrydende forsøg, der skulle vise, at ændre synet på elementærpartikler. Dog vagte forsøget ikke den store opmærksomhed, da folk var af den Newtonske opfattelse om at lys var en partikel og så ikke Youngs forsøg som noget egentligt bevis. Forsøget udføres ved at man sender en fotoner gennem et vakuumkammer, for at hindre at andre partikler påvirker forsøget. I kammeret passerer disse fotoner gennem en enkelt spalte, og der fremkommer én prik på et flouriserende papir bagved spalten. Dette viser at lyset agere lidt som en partikel, i og med at den holder den udsendte retning og ikke breder sig som en bølge. Dette forsøg laves så igen med en dobbeltspalte, hvor det her ses at der ikke kun kommer to prikker i form af en bag hver spalte. Men derimod kommer der et inteferensmønster, hvilket beviser at fotonerne interfererer med hinanden. Den tydeligste prik vil være imellem spalterne, da der her sker konstrugtiv interferens mellem to bølger fra hver deres spalte. Det endelige bevis på at fotoner er bølger sker ved udsending af én foton af gangen. Her kan de ikke interferere mellem hinanden, men der dannes stadig et nteferensmønster efter nok udsendinger. Det er fordi bølgen passere gennem begge spalter og dermed interferere med sg selv. Nogle taler om at der sker et bølge kollaps idét den ramme det flouriserende papir, da der her kun kommer én prik, på trods af at det er en bølge.
forsøget er senere blevet gentaget med elektroner i stedet, og til forskernes overraskelse var resultaterne sammenlignelige. Dvs. elektroner kan både være bølger og partikler, alt efter hvad du måler efter.

Heisenbergs ubestemthedsrelation

I kvantemekanikken arbejder man med partikler I størrelsesordenen nanometer, hvilket er Bohrs radius. Bohrs radius er den afstand fra en brintkerne, hvor det er mest sandsynligt at finde brintatomets elektron I déts laveste energitilstand.
Når man arbejder med så små objekter sættes der stor lid til måleapperaterne, og selvom de hele tiden forbedres, vil der stadig være en måleusikkerhed. Måleusikkerheden skyldes ikke kun upræcise måleapparater men også, at måleudstyret ikke kan undgå at inteagere med partiklen, idét det også er en bølge, og der dermed er en spredning. Måleusikkerheder findes også I den klassiske mekanik, men den er af så lille størrelsesorden at man ser bort fra den. Denne usikkerhed er blevet bestemt af Heisenberg, og kaldes derfor Heisenbergs ubestemthedsrelation. I kvantemekanikken siger man, at man samtidig ikke både kan bestemme en partikels position og impuls med ubegrænset nøjagtighed.[1] Her ser man på at vis man skal måle impulsen eksakt, kræver det en fuldstændig sinusbølge, og I dette tilfælde vil positionen ikke kunne bestemmes, mens hvis positionen skal bestemmes må frekvenserne overlejres, og det medføre en forringelse i bestemtheden af impulsen.
Ubestemtheden er defineret vha. Planks konstant.
hvis positionen for en elektron har en ubestemthed på 1 cm vil hastigheden have en spredning på
Mens hvis en partiklen havde vejet 1 gram, ville ubestemtheden for hastigheden være

Altså er ubestemtheden næsten ikke eksisterende ved forsøg i makroskopisk skala, mens den er nødvendig at tage højde for når man arbejder med kvantemekanikken.

De Broglie-relationen

Louis de Broglie var en fransk fysiker der også spilede en hovedsagelig rolle indenfor udviklingen af kvantemekanikken. I 1924 fremsatte han teorien, at “en materiel partikels bevægelse er forbundet med udbredelsen af en stofbølge, hvis bølgelængde λ er bestemt ved partiklens impuls p”[2] Dette kan skrives som de Broglie’s relation

De Broglie havde også en bølgeteori. Den gik ud på at, elektronen I dens bane, kunne beskrives som en bølge der intefererer konstruktivt med sig selv. Så I dets stationære tilstand svarer til en stående bølge for hvad der gælder; , da cirklens omkreds skal være lig med et lige antal bølgelængder.

Denne bølgeteori viste de Broglie, havde en direkte sammenhæng med Bohrs

kvantiseringsregel for impulsmomentet;
hvis vi ser på de Broglie’s relation , her isoleres så lambda
hvilket indsættes I formlen for elektronen som en stofbølge , hvilket viser den direkte sammenhæng mellem de Broglie’s bølgeteori og Bohrs kvantiseringsregel.

Den matematike tilgang til kvantemekanikken

Matematik spiller en stor rolle I kvantemekanikken, da en stor del af udviklingen foregår teoretisk og ved at udlede formler frem for at eksperimentere. Der bliver lavet en masse forsøg, men der skal også beregnes meget, da man skal vide hvad der sker, og det ikke er muligt at se det i samme grad som ved forsøg i makroskala.

2. ordens differentialligninger

En 2. ordens differentialligning er en ligning hvori der indgår en differentialkvotient og den afledede . Ellers indgår der, som i de fleste ligninger, to variable, den uafhængige x og den afhængige y. 2. ordens differentialligninger kan se ud på mange måder, f.eks.
det man her ser er, at den afledede er , og man skal så finde . Det gøres ved at integrere funktionen to gange således;
hvor hhv. og er konstanter, og er stamfunktionen til
Denne løsning    er den fuldstændige løsning, da konstanterne ikke er defineret, og der findes uendelige muligheder for hvad de konstanter kan være.[3]
hvis man skal finde en partikulær løsning, skal konstanterne defineres, og det kan gøres hvis man kender et punkt og funktionen. F.eks. kunne , altså være en funktion til et sted. I dette tilfælde vil , som er hastigheden, og den afledede er så accelerationen, ,
hvis man så kender starthastigheden , og startpositionen , så vil den partikulære løsning være;

Fordi der gælder følgende for en differentialbel funktion f hvis graf går gennem punktet og har hældningen a;

En 2. ordens differentialligning af typen . Kan opdeles i to tilfælde hvor enten a er positiv eller negativ, hhv.

Dette skyldes at, der findes et tal så .
grunden derpå er, at løsningen til er , og hvis den differentieres to gange giver det den afledede;
Dette skyldes differentialregnereglerne for e;
Deres fuldstændige løsninger er hhv.
for :   ,

for :   ,
har her benyttet som konstanter, for ikke at skabe forvirring mellem dem og .

Det ses at den fuldstændige løsning er en linearkombination af to partikulære løsninger. En linearkombination er når to variable eller funktioner, f.eks. x og y multipliceres med en konstant for så at adderes med hinanden. Simplificeret således at x og og y i en linearkombination er; , hvor a og b er to konstanter.
for at bevise at den fuldstænige løsning er oprigtig gør man brug af Wronskideterminanten, hvilket er determinanten til to differentiable funktioner skrevet
for denne determinant gælder, at det er en konstant hvis begge funktioner er løsninger til

For at bevise ovenstående differentieres determinanten, fordi hvis man differentierer en konstant forsvinde den, og resultatet er 0.

og eftersom begge funktioner er løsninger til 2. ordensdifferentialligningen
er , dog er de ikke lig hinanden, da det er to løsninger, men ligningen kan nus krives op som følgende;

Wronskideterminanten differentieret er lig 0. dvs det er en konstant.

Med en Wronskideterminant forskellig fra nul vil den fuldstændige løsning være en linearkombination af de to funktioner. For dette bevis sættes linearkombinationen lig en anden funktion , således at
at også er en løsning viser simpelt ved;
Så sættes a udenfor parentesen, og vi står tilbage med linearkombinationen multipliceret med a;

Derfor er en løsning til
konstanterne findes ved determinantmetoden hvor du har to ligninger;
her vil determinanten til ligningssystemet være lig Wronskideterminanten, og da vi har sagt at , vil der kun være én løsning til konstanterne, de findes ved;

begge brøker giver en konstant, da vi har bevist at Wronskideterminanten er en konstant, mens de andre determinanter(i tællerne) er af , som begge er løsninger til .
derfor er to konstanter og dermed uafhængige af x
så for at bevise at samt at ,begge er løsninger til 2. ordens differentialligningen og siger man;

og da Wronskideterminanten er forskellig fra 0 er det de fuldstændige løsninger til

Schrödingerligningen

Erwin Schrödinger(1887-1961) fik, med grundlag i de Broglie’s teori om stofbølger, en idé. Idéen gik ud på at der for stofbølgernes udbredelse, ligesom ved overfladebølger på vand, gælder en differentialligning. Denne bølgeligning publicerede Erwin Schrödinger i 1926.

Ved at simplificere udtrykket for en partikels bevægelse tages der udgangspunkt i en sinusbølge med en konstant amplitude , svingningstiden T og λ er bølgelængden.
Denne formel differentieres så to gange med hensyn til positionen x.
Med brug af de Broglie’s relation , hvor v er partiklens éndimentionelle fart hen af x-aksen, fås ligningen;
for at forenkle ligningen skiftes Planks konstant ud med Diracs konstant , og da planks konstant har 2 i eksponenten, vil ligningen nu være;
Partiklens energi er givet ved
og dette indsættes i ligningen foroven;
Dette er Schrödingerligningen for éndimentional bevægelse.
for at kunne finde en partikels position i en nukleons omkringliggende elektronsky, er det nødvendigt at benytte Schrödingerligningen for tremdimentional bevægelse. Den ligning er den samme som for éndimentionel bevægelse, bare med to ekstra differentialkvotienter for hhv. y og z.

I en differentialligning som den foroven, som har energien E knyttet til et konstant parameter. Vil kun ganske få værdier af E føre til en løsning der er endelig og differentiabel.
dette stemmer godt overens med kvantemekanikkens teori og energiens kvantisering. Kvantiseringen føres her over til matematikken i form af egenværdier, og løsningerne er dermed egenfunktionerne.

Max Born fandt i årene efter ud af, at det er sandsynlighedsamplituden man finder ved bølgeligningen. Derfor knyttes der til partikeln en bølge funktion hvor er stedvektoren til tiden t.
Da kvantemekanik stort set er baseret på en probalistisk synsvinkel, modsat den klassiske fysik der er deterministisk, vil vi arbejde med sandsynligheder. Sandsynligheden dP for at finde partiklen Indenfor et specifikt volumen I punktet med stedvektoren til tiden t er;
Her er størrelsen sandsynlighedstætheden. Dvs. Hvis den nu integreres for hele rummet(det uendelige rum) ville den give 1, da der er 100% chance for at finde partiklen I hele rummet.

Løsning af schrödingerligningen på en partikel i en éndimentional kasse

Teoretisk har vi en éndimentional kasse hvori der er en partikel der bevæger sig kraftfrit mellem yderpunkterne og . Idet partiklen rammer et af yderpunkterne vil den blive reflekteret fuldstændigt. Det gælder dermed at partiklens totale energi er kinetisk, da der ikke indvirker nogle krafter. Schrödingerligningen bliver dermed;

Da energien og massen er to konstanter, kan de samles til én konstant a. dermed er funktionen en 2. ordens differentialligning af typen .
Derfor kan konstanterne samles og skrives,   . og ligningen kan nu opskrives som følgende;

Denne ligning integreres nu to gange, og en partikulær løsning er dermed;
hvilket stemmer overens med det beviset for for Wronskideterminanten, for en funktion , her er resultatet bare kun én funktion og ikke en linearkombination.

kaldes for fase konstanten, og de to konstanter kan findes, da
Hvor , og med fysikkens øjne beskriver energiens kvantisering.
dette indsættes nu i , og E isoleres;Ved at kigge på denne ligning kan man tyde, at Energien E_n stiger eksponentielt når n vokser, da der står . derudover står a, i nævneren af brøken, hvilket vil sige, at hvis kassen bliver mindre, så vil energien vokse.

Hilbert rum

Et Hilbert rum er et vektorrum og benyttes af mange matematikere til funktionalanalyse. Hilbert rummet benyttes også i kvantemekanikken, her til at bestemme en elektrons position med en vis sandssynlighed.
Systemets tilstand kan da beskrives ved en enhedsvektor i dette rum, og enhver observerbar størrelse kan da repræsenteres ved en lineær operator på dette rum. Når tilstanden og operatoren er givet, kan sandsynligheden for forskellige udfald af den tilsvarende observation beregnes. Systemets tidslige udvikling beskrives ved Schrödingerligningen, i hvilken Hamilton operatoren – den operator der svarer til den observerbare energi – spiller en fremtrædende rolle. Sandsynlighedsfordelingen for en partikel i en given tilstand kan da beregnes ud fra den spektrale dekomposition af den tilsvarende operator. Hvis operatorens spektrum er diskret, kan partiklen kun antage disse diskrete egenværdier. Efter gennemførelsen af en måling vil systemets tilstand være en egentilstand svarende til den målte egenværdi.

Brintatomet

Brintatomet er det simpleste atom der eksisterer, det har en elektron og en proton. De brintlignende atomer og har begge også kun én elektron men derimod hhv to og tre protoner. Elektronen bevæger sig i k-skallen i et tredimensionalt plan rundt om atomets nukleon, og denne bevægelse kan beregnes ved hjælp af Schrödingerligningen, som er blevet introduceret før.

Schrödingerligningens brug på brintatomet

Brintatomet har én elektron der kredser rundt om, i protonens kuglesymmetriske felt, derfor er det ikke optimalt benytte x, y og z koordinater til at bestemme poitionen, men derimod de polære koordinater: r, φ og θ for henholdsvis radius, vinklen i planen fra x-aksen og vinklen i højden fra y-aksen. I funktionsudtrykket indgår også tre heltalsparametre, hvilket svarer til kvantetallene n, ˥ og . Hvor n er hovedkvantetallet , som også betegnes som elektronens middelafstand fra nukleonen, således at jo større n desto større udstrækning har elektronens orbital og desto mere er elektronen exciteret. Middelafstandene er inddelt i skaller navngivet således at første skal hedder k, anden l osv.
˥ svarer til bikvantetallet, som er defineret som . og bestemmer orbitalens form, dette kalder man for underskaller og navngives som på billedet. Det sidste kvantetal er , og det er det magnetiske kvantetal der er for hver værdi af ˥, har værdier for , dvs når bikvantetallet er 1, vil der være mulige værdier.

Man kalder de tre tal for en værditriplet og får hver af dem, f.eks. er der en tilhørende egenfunktion og dermed en tilsvarende sandsynlighed for at elektronen befinder sig indenfor et givet volumen. Ud fra dette kan man nu finde et volumen hvor der er tilpas stor sandsynlighed for at elektronen befinder sig.
man taler her ikke om at elektronen kun bevæger sig i en cirkulær bane, men derimod i orbitaler, typen af orbital bestemmes af bikvantetallet, de er inddelt således;

At løse Schrödingerligningen for en harmonisk svingende partikel, er identisk med at løse egenværdiligningen;

Hvor er en egenfunktion og er den oscillerende partikels totale energi samt egenværdien til . Men det er egenværdierne , som vi skal bestemme. Operatoren kaldes Hamiltonoperatoren, og er en operator der repræsenterer et systems energi.

Den totale energi for en harmonisk svingende partikel, som en elektron er I sin bevægelse rundt om kernen, er givet ved;

Hvor p er impulsen, k er fjederkonstanten(stivhedskonstanten) og x er afstanden fra ligevægtsstillingen(midtpunktet af svingningerne).
udtrykket for energien skal nu ændres til en Hamiltonoperator. Operatoren gør at hvis man observerer kinetisk energi I én dimension givet ved , vil Hamiltonoperatoren omdanne denne brøk til , og der kommer en 2. ordens differentialoperator bagpå;
ved at sætte dette udtryk ind i egenværdiligningen, istedet for Hamiltonoperatoren vil ligningen se ud som følgende;

Hvilket kan omskrives til Schrödingerligningen;

Dette viser sammenhængen mellen egenværdiligningen og Schrödingerligningen.

For at beregne Schrödingerligningen for brintatomet skal man finde elektronens potentielle energi, som er givet ved , Hvor e er givet ved kerneladningen. Hvis det ikke var brint, men derimod lithium-ionen eller helium-ionen man skulle beregne elektronens potentielle energi for, ville der i tælleren skulle stå , da e er en elektrons(og dermed også en protons) ladning, og Z er antallet af protoner i kernen.
så benytter man Hamiltonoperatoren, men denne gang i tre dimensioner;
hvor r her er elektronens afstand fra atomkernen og er elektronens masse.
så Indsættes det i den før nævnte energiligning, og vi får Schrödingerligningen;

Hvis man kigger på differentialoperatorene i ligningen ses at funktionen er en funktion afkoordinaterne, så denne funktion kan substituees med u, som funktion af hhv x, y og z; , denne funktion u til denne differentialligning kaldes en kugle funktion, og vil, som 2.ordens differentialligning have 5 mulige lineært uafhængige funktioner af 2. orden som løsninger. Det har den fordi der gælder at; der findes lineært uafhængige funktioner at ˥’te orden, som løsninger til ligningen[4]

Da det er lettere at regne med polære koordinater når det er en kugle, kan de retvinklede koordinater omregnes som følgende; , og
det gælder derudover, at en kuglefunktion u, af ˥’te orden i polære koordinater, kan skrives som et produkt af en potensfunktion i r og en funktion af vinklerne.
nu indfører jeg de polære koordinater i ligningen

Hvor i dette tilfælde kaldes vinkeloperatoren, den virker på således at

Denne operatorer vil have egenfunktioner i form af kuglefladefunktionerne
og ved benyttelse af omskrivningen fra vinkel til polære koordinater, kan kuglefladefunktionen indsættes i , og følgende resultat opnås;

Da der nu er tale om polære koordinater vil Schrödingerligningen også blive ændret, således at den nu hedder;

Bølgefunktionen er nu for de polære koordinater, og kan dermed sættes lig produktet af en radial- og kuglefladefunktion;
netop dette gør at man kan dele det i en radial- og en vinkeldel, gør at Schrödingerligningen omdannes til kun at have én variabel, nemlig radius r. Denne ligning kaldes også radialligningen;

Schrödinger fandt ud af[6], at netop denne ligning kun har løsninger der er endelige, entydige, differentiable og som nærmer sig nul når radius går mod uendelig , i tilfældet af at elektronens totale energi er , hvor n er hovedkvantetallet og Z er antallet af kerneladninger. Denne ligning er viser at der er et sammenfald med dette og Bohrs teori, i og med at resultaterne for denne ligning er de Bohrske energiværdier for elektronens totale energi i en stationær bane. Ligningen er dog ikke den man sædvanligvis møder, når man taler om Bohrs energiligning, men den kan omskrives.

En ligning for en elektrons kinetiske energi er givet ved den kraft der holder elektronen i sin bane omkring kernen, og den er udelukkende givet ved columbkraften, da gravitationskraften mellem de to partikler er så ubetydelig lille. Derfor er centripetalkraften lig columbkraften;
den kinetiske energi er dermed givet ved en omskrivning af højresiden til

Elektronens potentielle energi, der med en uendelig radius er lig nul, er givet ved;

af dette følger at elektronen totale energi er summen af disse to;

Om elektronens impulsmoment vides at det er givet ved Diracs konstant multipliceret med et heltal;
hvilket indsættes i ligningen for den resulterende kraft , og r isoleres;

dette udtryk substituerer r i ligningen for den totale energi får man Bohrs energiligning, og dermed stemmer Scrödingerligningen overens med Bohrs energiligning fra Bohrs 2. Postulat om frekvensbetingelsen.
For at hoppe tilbage til Schråodinger ligningen, så er bølgefunktionen som følgende når den opdeles i en radialfunktion og en kuglefladefunktion;

Hvor n som sagt er hovedkvantetallet, ˥ er bikvantetalet og er det magnetiske kvantetal.
En impuls’ korresponderende operator er . Dvs. impuls kvadratet betegnet , er givet ved; . denne formel er for en partikel der bevæger sig i xy-planen. I dette tilfælde ville vinklen , og ved at indsætte dette i vinkeloperatoren , fås følgende; disse to operatorer og kan sammenholdes således at;
denne ligning danner, sammen med , egenværdiligningen for impulsmomentskvadratet;

Dermed er elektronens impuls givet ved;

Schrödingerligningens brugbarhed

Schrödingerligningen er god til at bestemme snadsynligheden for at en elektron befinder sig indenfor et specifikt volumen eller orbital. Ligningen kan også godt benyttes på andet end brintatomer, nemlig de brintlignende atomer og , der begge også kun har én elektron, dog skal kerneladningen ændres. Ligningen kan også godt benyttes for systemer med flere elektroner, dog bliver dets egenthed betydeligt forringet grundet deres vekselvirken. Et andet problem med Schrödingerligningen er, at der kun er tre kvantetal medtaget, hvor det sidste tal, spinkvantetallet, udelades. Hvilket er en betydelig brist, dog ikke for hverken brintatomet eller de brintlignende atomer. Grunden til at spinnet er forskelligt fra elektron til elektron er, at de adlyder Paulis udelukkelsesprincip. Det går ud på, at et system ikke kan indeholde to fermioner i samme kvantetilstande, så hvis der skal kunne være 18 elektroner i samme skal, så er det ikke nok med tre kvantetal. F.eks. hvis , det medfølger , forskellige værdier, dermed kræver det at elektronerne er i stand til at have hhv. ½ og -½ i spin, for at der kan være 18 elektroner i én skal.

Paul A. M. Dirac har dog senere lavet en ligning der tager højde for elektronspinnet, og er dermed en smule mere præcis, og det lige det mere kompliceret.

På trods af Diracs udvikling af Schrödingerligningen, er det stadig ikke muligt at benytte den på tungere atomer en brint, med en tilpas stor nøjagtighed. Det skyldes de forskellige tilstande elektronerne kan tage. Brint har de forskellige stadier for én elektron, hhv. , mens at et forholdsvis simpelt atom som Lithium, der har tre elektroner, har to elektroner i og én i , det betyder at det allerede her er svært at fastslå hvordan systemet vil se ud, i en exciteret tilstand.

Kvantemekanikken og Schrödingerligningens betydning for nutidens kvantefysik

Kvantemekanikken var den gang en hel anden måde at anskue elementærpartikler på, og netop med Schrödingerligningen var det nu meget lettere at analysere partikler og dermed deres reaktion med andre. Fysik har og vil nok altid være den dominerende del af menneskets verdensbillede. Det er gennem fysikken at vi beskriver hvordan verden hænger sammen og kan fortsætte med det. Kvantemekanikken har ligeledes været og er stadig en måde hvorpå vi mennesker har kunnet forklare ting, som ikke havde været muligt med den klassiske fysik. Udviklingen har været både filosofisk med hensyn til Higgs-bosonen ogg det tænkte Higgs-felt, der efter sigende skulle om muligt kunne “kollapse” ved en kvantemekanisk tunnelering og dermed blive super dense matter.
Nogle fysikere er også gået væk fra den gængse og anerkendte verdensbillede, og tror derimod på, at det der giver partikler masse er den såkaldte technicolor kraft, den skulle gå ind og erstatte Higgs-feltets funktion. Technicolor har fået navnet “color” efter de stærke kernekrafter mellem kvarker og gluoner, da det startede som en teori indenfor kvantekromodynamikken. Senere hen har teorien udviklet sig til at omfatte kvantemekanikken generelt som en kraft der giver partikler masse.

En af de helt store ting som kvantemekanikken har haft betydning for er forskningen I elementarpartikler. Hvert år bliver bliver brugt millioner af kroner på CERN for at få partikler accelereret højt nok op i fart og opbygge nok potentiel energi til at danne nye partikler og dermed blive klogere på universets oprindelse og byggesten såsom Higgs-bosonet. Man har, på baggrund af kvanteteorien og Schrödingerligningen, kunnet fastslå rigtig mange partikler. Man har blandt andet opdaget kernepartiklernes byggesten I form af kvarker og gluoner. Derudover har man fundet flere bosoner. Dog er resultaterne lidt modstridende med en af de tidlige teorier indenfor det selv samme emne, nemlig Heisenbergs ubestemthedsrelation. For når partikler støder sammen indeni partikelacceleratoren så er der en masse måleapparater der måler den emitterede energi, og produktet, og på den måde kan de regne tilbage og finde ud af hvilke partikler de blev danne, og hvilke energier de havde. Mne hvis man holder fast i Ubestemthedrelationen så vil deres måleapparater ikke kunne undgå at interagere med partiklerne, og dermed resultaterne. Men indtil videre er det den bedste måde at blive klogere på verden.

Matematisk har kvantemekanikken også haft betydning for eftertiden, da man her har fundet forskellige metoder til at beregne en partikels position. Man har beskrevet en partikels bevægelse ud fra en funktion I et afgrænser rum. David Hilbert udvidede det euklidiske rum fra vektorer I et tredimensionalt rum, til et uendeligt dimensionalt rum med indre produkter af funktioner. Udviklingne af Hilbert rum har haft en betydning for eftertiden indenfor kvantemekanikken, hvor man benytter det til at bestemme partikler, hvor de er opskrevet som funktioner. Men hilbert rum benyttes også til meget andet. Man fandt ud af de algebraiske strukturer er for hilbert rummet kunne benyttes i computerprogrammer, til at rotere objekter og flytte dem over i andre rum ved afbildninger. Derudover bliver Hilbert rum også benyttet til signalbehandling. I det hele taget benyttes funktionalanalyse, som hilbert rum er et tilfælde af, til det meste nyere matematik.

Konklusion (og persepktivering)

Kvantemekanikkens fremkomst har været langvarig, da den brød med den klassiske mekanik, som var det generelle verdensbillede i starten af 1900-tallet med Isaac Newton som grundlæggeren. Teorien om partiklers evne til at agere som både partikler og bølger vandt dog stille med stødt indpas i folks bevidsthed, med blandt andet Niels Bohr og Einstein som store fortalere, dog med vidt forskellige holdninger. Kvatemekanikken var dog et meget omdiskuteret emne, hvilket blandt andet skyldes at det var meget svært at iagttage reaktioner og bevægelser i den mikroskopiske skala som der er tale om ved atomer. Rigtig mange teorier byggede på tænkte eksperimenter, der var baseret på enkelte forsøg, men det er ofte svært ved noget som man ikke ved alt om endnu. Ved dobbeltspalteforsøget, kunne man efter forsøget med én spalte tænke sig til at det samme ville ske med to spalter, men dette var ikke tilfældet. Fysikere formåede alligevel at formulere nogle generelle matematiske formler som vandt indpas, f.eks. Bohrs postulater om kvantisering. Erwin Schrödinger formåede at finde en ligning der viste elektronens sandsynlighed for at have en position indenfor et specifikt volumen.

Meget af kvantemekanikken byggede på matematiske modeller og man begyndte at benytte funktionalanalyse som hilbertrum til at beskrive positionen af en partikel. Udover særegne matematiske modeller var meget af kvantemekanikken jo baseret på tænkte eksempler der gjorde meget ud af at beskrive det algebraisk, derfor er metematik en uundgåelig del af kvantemekanikken.

Efter at kvantemekanikken havde vundet indpas i menneskernes verdensbillede, og det var blevet en anerkendt teori, begyndte man at eksperimentere yderligere. Man grundlage f.eks. CERN der benytter partikelacceleratorer til at smadre partikler sammen og skabe nye partikler der fortæller noget om verdens oprindelse og hvad alt består af, som blandt andet Higgs-bosonet som man mener er det der giver alt masse.
Kvantemekanikken var altså en teori om at partikler agere anderledes i miksroskopisk skala, og at der er nogle helt andre krafter der er gældende. Denne teori har haft stor betydning for eftertiden, og har været med til at ændre synet på universet og forklaret mange ellers uforklarelige ting.

Litteraturliste

• Durhuus, B. (1997). Hilbert rum med anvendelser. København: HCØ Tryk
• Fabricius, O & Nielsen, R. (1974). Fysik i grundtræk 3B elektron- og atomfysik. København: Munksgaard.
• Hansen, W.W. & Parbo, H. (1981). Elementær kvantemekanik. Herning: Forlaget systime a/s
• (2014, juni 27). Den store danske, Gyldendals åbne encyklopædi. Fundet d. 4. december 2014 på

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Svingninger_i_faste_stoffer%2c_v%C3%A6sker_mv./interferens

• Jessen, C., Møller, P. & Mørk, F. (1999). Integralregning og sandsynlighedsregning. Randers: Ethelberg Bogtryk.
• (2014, august 21). Den store danske, Gyldendals åbne encyklopædi. Fundet d. 4. december 2014 på http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Klassisk_mekanik_og_kvantefysik/kvantemekanik
• Liboff, R.L. (1998). Introductory quantum mechanics (2. udg.). U.S.A: Addison Wealey Longman, Inc.

Mølmer, K. (2010). Dobbeltspalte-eksperimentet. Aarhus universitet. Fundet d. 4. december 2014 på http://phys.au.dk/fileadmin/site_files/forskning/ltc/klaus/dobbeltspalte.pdf

[1] (Fabricius & Nielsen, 1974, s. 40)

[2] (Hansen & Parbo, 1981,.s. 52)

[3] (Jessen, Møller & Mørk, 1999, s.111

[4] (Hansen & Parbo, 1981,.s. 84)

[5] (Hansen & Parbo, 1981,.s. 85)

[6] (Hansen & Parbo, 1981,.s. 86)