SRP: Pesten i Danmark (1700-tallet)

Abstract

This project investigates the recurrent epidemics of plaque in Denmark from the 14^th century to the 18^th century based on an historical and a mathematical approach. This project gives an insight into the initiatives the authorities took to prevent the epidemic in the 18^th century. Both the preventive measures, but also the steps the authorities took during the epidemic. This knowledge enables the handling of the plague in perspective to the management of epidemics in our days.

Through a mathematical method this project will illustrate the historical perception of the plaque and the development of the epidemic in Copenhagen in the 18^th century. This project will also show the Euler method to deal with the mathematical methods. And discuss the prerequisites for the use of the methods.

Through an analysis of a poster and letters this project will display the importance of the authorities reaction.

The mathematical methods which have ben used in the project are the SIR- and SEIRS-models in order to describe the epidemic in a varied way. Through the experiment it is concluded that the models are unable to provide a definitive picture of the epidemic, but can provide a simple understanding of the plagues development.

Indledning

Pesten er en af de epidemier som har haft størst konsekvenser for Danmark gennem tiden. Pesten raserede med jævne mellemrum Danmark fra 1349 og frem til 1711.

En epidemi opstår, når en smitsom sygdom, breder sig meget hurtigt. Pesten er en af de mest kendte epidemier, og af stadig interessant, idet den har haft stor indflydelse på hvordan vi som samfund håndterer epidemier, herunder de tilbagevendende influenzaepidemier og den helt nye dræber Ebola, som udgør en stor udfordring for det moderne samfund.

Men hvad er pest? Hvad gjorde man for at stoppe epidemien? Og kan man opstille en matematematisk model til beskrivelse af pesten udbrud? Dette er blot nogle af de spørgsmål, som er forsøgt besvaret i den følgende opgave.

Der vil blive fremlagt en historisk redegørelse af pestens udvikling i Danmark med vægten lagt på pesten i 1700-tallet. Opgaven vil samtidig indeholde en redegørelse af SIR- og SEIRS-modellen samt Eulers numeriske løsningsmetode til at vurdere, hvorvidt SIR- og SEIR-modellen kan benyttes til beskrivelsen af pesten i København 1711. Det vil blive diskuteret om SIR- og SEIRS-modellens forudsætninger er opfyldt i forhold til influenzaepidemierne. Til sidst vil det blive diskuteret, hvilken indflydelse håndteringen af pesten i 1700-tallet har haft på håndteringen af epidemier i dagens Danmark.

God fornøjelse!

Hvad er pest?

Pest er en sygdom, som er forårsaget af bakterien Yersinia Pestis. Bakterien smitter via lopper, som primært lever på den sorte rotte. Loppen overfører rottens inficerede blod til mennesket gennem loppebid. Pest inddeles i 3 forskellige former; byldepest som udgør ca. 86 procent af de pest inficerede individer. Dernæst rammes ca. en fjerdedel af blodforgiftning også kaldet septisk pest. Septisk pest kan dog udvikles uden forudgående byldestadie. Septisk pest rammer ca. 13 procent af de pestinficerede individer og kan forårsage lungepest. Lungepest rammer ca. 3 procent af de pestinficerede individer og spredes enten gennem blodet fra lymfekirtlerne eller gennem inhalation, altså fra menneske til menneske. Inkubationstiden for byldepest ligger på 2-10 dage afhængig af bakteriemængden og medfører en række smertefulde symptomer, bl.a. viser byldepest sig ved betændte lymfekirtler, som navnet hentyder til. Inkubationstiden for lungepest er 1-6 dage. For en ubehandlet patient med byldepest er risikoen for at dø ca. 60 procent, hvorimod patienter med lungepest, har en langt højere risiko. Lungepest viser sig bl.a. igennem høj feber, blodigt opkast og lungebetændelse.¹ Man er ikke sikker på hvorvidt de personer, som overlevede pesten udviklede en langvarig resistens overfor bakterien, da dødeligheden stort set har været den sammen lige siden den sorte død. Man er alligevel ikke i tvivl om, at nogle af de gravere og præster som omgik de inficerede individer må have udviklet en slags kortvarig immunitet.² Ifølge det offentlige danske sundhedsvæsen, bliver man immune over for sygdommen resten af sit liv.³

I nyere tid har forskere diskuteret om alle disse epidemier, som man før mente kun kunne være pest, virkelig også var pest eller om epidemien i virkeligheden kunne have været forårsaget af en anden mikroorganisme, f.eks. virus. De fleste forskere mener, at bakterien Y. Pestis har muteret gennem de flere 100 år, og at der var ligeså mange tilfælde at lungepest, som byldepest, hvis ikke flere under den sorte død,, da epidemien ikke ville have udviklet sig så hurtigt ellers.³ Grundet bakteriens mutation har man ikke mulighed for med sikkerhed at afklare hvordan balancen mellem byldepest og lungepest forholdte sig i 1700-tallet.

¹ Statens serum institut – http://www.ssi.dk/Service/Sygdomsleksikon/P/Pest.aspx (04.12.2014)

² Frandsen, Karl-Erik – Kampen mod pesten (side 9)

³ https://www.sundhed.dk/borger/sygdomme-a-aa/infektioner/sygdomme/import-og-tropesygdomme/pest/ (05.12.2014)

³  http://historienet.dk/dagligliv/pesten-blev-spredt-af-mennesker-ikke-lopper (05.12.2014)

Pesten har flere gange udviklet sig til en pandemi, hvilket betyder at epidemien udvikler sig på et globalt plan. Dette bl.a. skyldes pestbakteriens egenskaber til at formere sig så længe temperaturen er over 4og overleve temperaturer helt ned til -40. Om sommeren kan bakterien overleve i et lig i op til 30 dage og om vinteren 3-6 måneder.⁴

Pestens historie i Danmark

I dag taler forskerne om at der har eksisteret tre pandemier⁵  forårsaget af pest. Den første pandemi strækker sig over perioden år 540-750, dog var Europæerne et relativ spredt folk, dvs. handelsruterne var så begrænset, at konsekvenserne for Danmark ikke var særlig store. Den anden pandemi strækker sig over perioden år 1347-1750 og menes at stamme fra Asien, hvor der efterhånden var blevet etableret en hyppigt benyttet handelsrute.⁶ Den tredje pandemi forgik i Asien fra 1890 til 1950, og har derfor ikke haft nogen direkte konsekvenser for Danmark.

Den Sorte Død nåede til Danmark i året 1349. De første beskrivelser af pesten stammer fra sagn der beskriver at pesten kom til Danmark via et norsk skib. Der er uenighed om hvor mange der døde og hvor hurtigt de døde, grundet manglende kildemateriale, men ifølge Erik Ulsing⁷ er der ingen grund til at tro, at pesten i Danmark afveg fra hovedmønsteret England, hvor størstedelen af befolkningen døde inden et år⁸. Han mener selv, at den danske befolkning allerede var halveret året efter pesten ramte.

⁴ Frandsen, Karl-Erik – Kampen mod pesten (side 7)

⁵ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 28)

⁶Ibid. (side 28)

⁷ Dansk historiker med speciale i middelalderens historie.  http://danmarkshistorien.dk/om-danmarkshistoriendk/forfattere/erik-ulsig/ (17.12.14)

⁸ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 43)

Lige siden pesten kom til Danmark i 1349 udbrød den med jævne mellemrum, og det var først i 1500-tallet, at man håndterede sygdommen systematisk med en rationel tilgang.⁹ Danskerne i middelalderen var meget religiøse og antog, at det var dommedag de stod over for. Man troede, at det var guds straf, og befolkningen forsøgte sig ved hjælp af bønner og almisse, at undgå smitten. Man ved samtidig at nogle af bønderne gjorde op med kirkens autoritet, fordi de følte sig svigtet da kirken ikke havde formået at frelse dem fra pesten. ⁹

Kong Christian d. 4 forsøgte at føre en statskontrolleret handelspolitik og i 1625 blev der opstillet en række retningslinjer for karantæne og  isolering af de inficerede. Dette var det første samlede stykke lovgivning, som tog højde for de mange problemer som pesten forårsagede.⁹ Der findes dog ingen kilder som beskriver, om der blev fulgt op på lovene, eller om de i givet fald virkede.

I 1600-tallet hærgede pesten forsat med jævne mellemrum på 5-15 år og i alt kan tælles 6 epidemier¹⁰. På Bornholm findes der i flere kirker pesttavler, som optæller antallet af døde i hver enkelt sogn. Kirketavlerne er den eneste kilde, vi har i Danmark, som beskriver epidemiens udvikling i løbet af 1600-tallet. I København i år 1654 flygtede de rige og pesten ramte de fattige og tilbageblevne¹¹. Den sidste pest i 1600-tallets København slog til i år 1657. Danmark fik derefter en lille pause fra de tilbagevende epidemier indtil den sidste epidemi ramte i efteråret år 1710. Der findes flere teorier om hvorfor pesten epidemien stoppede. Den hidtil mest populærere forklaring bunder i at mennesket og samfundet lærte at omgås sygdommen på en mere hensigtsfuld måde, bl.a. med karantænestationer og isolering. Dels har genopbygningen af store dele af København i år 1728, også betydet en hel del, idet murstensbyggeriet gjorde det svære for rotterne at færdes.

⁹ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 69)

⁹ Thiedecke, Johnny – Pokker, pest og piller (side 33)

⁹ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 43)

¹⁰  Ibid. (side 46)

¹¹ Ibid. (side 48)

SIR-modellen

SIR-modellen beskriver hvordan en epidemi udvikler sig i en befolkning med N individer.

SIR-modellen deler befolkningen op i tre forskellige grupper, nemlig som navnet på modellen antyder:

Dynamikken i sygdomsforløbet er givet ved:

I modellen bliver der ikke taget højde for, at populationen kan ændre sig, derfor vil summen af de 3 afhængige variabler være N (populationsstørrelsen). Risikoen for at der forekommer et smittende møde er givet ved parameteren a, som kaldes transmissionskoeficienten og er givet ved a= . c er kontaktraten og angiver hvor mange individer et inficeret individ smitter pr. tidsenhed. Der er i alt S·I par som har mulighed for at smitte hinanden. Chancen for at et individ enten dør eller bliver immun er givet ved parameteren b, som kaldes en removal rate.

Det vil altså sige, at antallet af nye inficerede individer kan skrives: a·

Og antallet af individer der ophører med at være inficerede kan skrives: b·

Man kan altså bestemme S(t+ ved at trække transmissionskoeficienten multipliceret med antallet af par der har mulighed for at smitte hinanden fra antallet af raske til at starte med:

Hvert inficeret individ i populationen har c kontakter over en tidsperiode og sandsynligheden for at en kontant fører til smitte er I/N. Det vil altså sige at antallet af smittende individerne er:

For at bestemme antallet af raske/døde i tidsrummet multipliceres removale rate med antallet af inficerede individer.

For at bestemme de 3 koblede differentialliginger, divideres igennem de 3 ligninger med

Nu lades  og kommer frem til de 3 differentialligninger:

S(t+ kan altså beskrives ved formlen:

(2)

(3)

De 3 ligninger påvirker hinanden således, at når antallet af raske mennesker falder, stiger antallet af inficerede mennesker. Antallet af raske individer vil hele tiden være aftagende, da der hele tiden er nogen der bliver inficeret.

For at en epidemi kan opstå, skal antallet af inficerede individer være stigende, altså: I'(t₀) ≥ 0. Antallet af inficerede I er voksende når  og i og med I'(t₀) ≥0 må forudsætningen for væksten i antallet af inficeret individer være og dermed at . Tilsvarende er I aftagende når . Den relative removale rate  fortæller os, at for der er tale om en epidemi, skal antallet af raske individer S(t) være stører end  den relative removale rate

R er voksende, da der hele tiden bliver flere immune individer i populationen.

Nogle af parametrene kan estimeres. Man kan estimere værdien for b ved brug af formlen: b = , hvor D beskriver antallet af sygdomsperioder som sygdommen varer i gennemsnit. Når man har bestemt b kan man estimere a ved brug af formlen a = .    kan man finde, da S(t) svarer til værdien for  når I(t) er størst, altså der hvor epidemien er på sit højeste. Epidemien topper når I'(t) skifter fortegn fra positiv til negativ og I'(t)=0.

Forudsætninger:

For at modellen er brugbar skal den opfylde en række forudsætninger.

1. Vi antager, at sygdommen kun smitter direkte fra individ til individ.
2. Vi antaget, at populationen vi har med at gøre er homogen. Dvs. alle individer er lige modtagelige over for sygdommen og er lige hurtige om at komme sig over sygdommen.
3. Vi antager, at populationen ikke ændrer adfærd på trods af epidemien.
4. Vi antager, at der er lige stor sandsynlighed for at hver enkelt individ mødes.
5. Vi antager, at man kan smitte andre mennesker lige så snart man selv er inficeret, hvilket udelukker inkubationstiden. Dog har dette ikke stor betydning, hvis inkubationstiden er kort sammenlignet med den tid det tager for epidemien at udvikle dig.
6. For at modellen kan bruges, skal populationen have en vis størrelse, sådan at funktionen med god tilnærmelse er lineær, idet vi arbejder med små tidsintervaller.
7. Vi antager til sidst at populationen N ikke skifter størrelse.

SEIRS-modellen

Til mere indviklede epidemier kan man benytte den udvidede model SEIRS-modellen, som indeholder de samme forudsætninger som SIR-modellen, men tager højde for  inkubationstiden, og det at nogle individer mister deres immunitet.

Befolkningen deles ind i følgende grupper.

Dynamikken i modellen er givet således:

Udviklingen er cirkulær, da der er mulighed for, at man ikke bibeholder sin immunitet og derfor flyttes tilbage i kategorien af raske, som er modtagelige over for smitten.

Parentesen antyder at en del af de immune ledes tilbage til den raske kategori, idet de mister deres immunitet. Modellen bevæger sig altså i cirkler, da individerne kan bevæge sig igennem modellen flere gange.

Netop fordi modellen fungerer cirkulært kan S'(t) nu udtrykkes:

(4)

Parameteren h henviser til andelen i restgruppen, der er raske og kan blive smittet igen.

E'(t) bestemmes ved at tage antallet af individer der ophører med at være smittelige og bliver inficerede og subtrahere med produktet af andelen i inkubationstiden, der kan smitte og antallet af individer i inkubationstiden.

(5)

I'(t) bestemmes ved at tage produktet af andelen i inkubationstiden, der kan smitte og antallet af individer i inkubationstiden og trække antallet af de individer vi forventer ophører med at være inficerede fra.

(6)

R'(t) bestemmes ligesom tidligere, bortset fra vi trækker antallet individer, som ikke bibeholder deres immunitet fra.

(7)

Fordelene ved SIR-modellen er den meget nemt kan give et billede af hvordan en simpel epidemi udvikler sig.  Ulempen er derimod, at SIR-modellen giver et meget upræcist billede af pesten udvikling i og med, at den ikke tager højde for inkubationstiden, hvilket betyder at folk som ikke kan smitte andre, bliver placeret i kategorien for inficerende.

Ulemperne ved både SIR- og SEIRS-modellen er, at de kun beskriver epidemier, som smitter ved at to mennesker mødes, og man mener at størstedelen af de pestramte havde byldepest, som ikke nødvendigvis smitter via et møde med en inficeret. Derudover skal tillægges, at man ikke har været i stand til definitivt at bestemme hvor mange, der blev immune over for pesten, og det er derfor ikke muligt at fastsætte en immunitetsrate til brug af SEIRS-modellen.

Numerisk løsning af differentialligningerne

Man kan ved hjælp af Eulers numeriske løsningsmetode bestemme S(t+t) ud fra S(t) i SIR-metoden. I min argumentation benytter jeg allerførst tangentligningen:

For de punkter som ligger tæt på x₀ gør jeg mig følgende tilnærmelse, da tangenten ligger tilnærmelsesvis tæt på funktionen:

Jeg indsætter nu x₀+ på x's plads:

Jeg kan nu indsætte S på f's plads og finder frem til at S(t+t) kan beskrives ud fra følgende:

Jeg har altså nu vist hvordan man kan bestemme  ud fra S(t)

Det vigtigste, når man benytter Eulers metode, er at sørge for at  bliver så lille som muligt, idet f(x) i virkeligheden aldrig vil være lig med y, men kun tilpas tæt på. Hvis ens intervaller bliver for store vil fejlen i sidste ende kumulere op til en værdi, hvor man ikke vil kunne sætte y.

Fig. 2 – viser hvordan SIR-modellen forholder sig til dt's værdi, og hvorfor det er så vigtigt at have et så lille interval som muligt. Diagram nr. 2 og 3 ligner tildels hinanden, derfor har jeg i mit eksperiment sat dt=0,5, da det ikke bliver meget mere præcist (pilene angiver at præcisionen stiger).

Eulers metode er den simpleste numeriske metode til løsning af differentialligninger, for et mere præcist resultat kunne man have brugt Heuns metode. De to metoder adskiller sig ved, at i Eulers metode opfattes y som 'lokalt linær', og Heuns metode er y baseret på gennemsnittet af hældningerne.

Pestens sidste indtog i Danmark

Den 21. Januar 1708 fik Danmark for første gang det der ligner en sundhedsstyrelse, kaldet Politi- og Kommercekollegiet¹². Det administrative organ bestod af politikommissionen og kommercekollegiet, som blev oprettet i 1704 for at rådgive kongen om handel. Kollegiet skulle først og fremmest rådgive kongen, men havde også en lovudøvende funktion i magistraterne. En meget vigtig beslutning som Politi-og Kommercekollegiet tog var at bede kongen om at oprette de såkaldte karantænestationer, på denne måde var man sikret at hverken rejsende eller varer, var inficerede med pest kom til Danmark. I alt havde man planlagt at bygge syv karantænestationer, dog var det kun den på Saltholm, som blev realiseret i år 1709.¹²

Kollegiet modtog også informationer fra de danske residenter i byerne Lübeck og Hamburg, om hvilke forholdsregler de gjorde sig for at holde pesten uden for byerne. Kollegiet bestemte at rejsende altid skulle bære et sundhedspas således, at man altid kunne se om personerne fejlede noget.  Hvis sundhedspasset ikke var i orden, skulle de rejsende sættes i karantæne i minimum 40 dage, før man kunne være sikker på at de ikke var inficeret.¹³

Det var delvist på baggrund af Kong Frederik den 4.s besøg i Italien i år 1708-1709, at der i der i Danmark  blev taget initiativ til at oprette en sundhedskommission ved Toldboden.¹⁵  I byen Firenze havde man haft en sundhedskommission siden år 1527 for netop at bekæmpe pesten. Det var også i Italien at Kong Frederik den 4. var blevet inspireret til at isolere storbyerne, for at lukke pesten inde/ude. Dette var i realiteten ikke muligt, da folk gjorde alt for at flygte fra de pest inficerede byer.¹³

¹² Frandsen, Karl-Erik – Kampen mod pesten (side 25)

¹² Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark  (side 51)

¹³ Ibid. (side 51)

¹⁵  Ibid. (side 28).

¹³  Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 102)

I efteråret år 1710 kom pesten til Danmark i en lille fiskerby Lappen, og hurtigt spredte smitten sig til Helsingør.¹⁶  Danmarks situation forud for pesten var  belastet, idet Den Store Nordiske krig raserede og krævede ressourcer både økonomisk og i form af soldater¹⁷.

På trods af de mange foranstaltninger sundhedsvæsenet havde igangsat, spredte pesten sig dog videre til København i år 1711. I København blev det den 3. Juli 1711 vedtaget, at hvis man hjalp de inficerede individer, blev man dømt til døden.¹⁸

For at konfrontere isolationsproblemet blev der d. 3 juli 1711 hængt en plakat op i Jægersborg, hvor Kong Fredrik den 4. forkyndte at pesten var kommet til København. Plakaten var skrevet af myndighederne og viser hvordan myndighederne håndterede pesten i år 1711. Plakaten¹⁹ henvender sig til de danske borgere og formålet var at udstede en række befalinger, som skulle hindre smitten i at sprede sig. 'Imod de foranstaltninger, vi har truffet for at hindre spredningen har flere sneget sig ind fra Helsingør. Vi har erfaret, at når der på politiets eller de medicinske fakultets opfordring starter en efterforskning under en politimester, da har ikke alene husets beboere men endog naboerne hindret de udsendte betjente og barbere²⁰  i at udfører deres hverv'¹⁹. Ud fra denne kilde kan man konstatere, at mange folk ikke kendte nødvendigheden af at isolere sig fra de inficerede individer. I kilden bliver vi også introduceret for en anden vigtig forudsætning for pestens smitte, nemlig de raske individer omgåelse med smitten. 'Da en del indbyggere heller ikke vil lade deres døde begrave så hurtigt, som anbefalingerne lyder, så forbyder vi hermed, at lig, hvor personens er gået bort efter en hurtig sygdom, begraves med nogen som helst  ceremoni eller med ligfølge (…)'¹⁹. Kilden kan betragtes som troværdig idet den er udfærdiget af myndighederne og måske endda direkte citeret fra kongen.

¹⁶ Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 100)

¹⁷ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 49)

¹⁸ Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 100)

¹⁹  Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 118, tekst 14)

²⁰ En form for praktiserende læge (http://www.denstoredanske.dk/barber (08-12-14)

Ifølge kilden²³ som er vedlagt i bilag 1, kan man se hvor mange mennesker der blev 'copulerde' dvs. gift, hvor mange der blev født, og hvor mange der døde i København år 1711.

Kilden er enestående i den forstand, at det er den første detaljeret statistiske kilde, som beskriver pestens udvikling i København. Kilden angiver ingen oplysninger om hvor den stammer fra, men den blev fundet i rigsarkiver under gruppen 'Diverse til kontorefteretninger'²⁴. Kilden er den mest pålidelige kilde vi har om pestens påvirkning af København.

Kigger man fra Juli måned og fremefter, dvs. kolonnen yderst til højre, kan man se, at der i alt døde 22.325 mennesker. Hvis man trækker antallet af formodede døde, som uanset pesten ville være døde, regner man med, at der i alt døde 20.000 mennesker grundet pesten. Dette skal ses i relation til de 60.000 indbyggere i København.²⁵ Altså en markant ændring siden år 1349, hvor man mente at 50 procent af befolkningen døde²⁶, hvilket kan skyldes udviklingen inden for isolation af de smittede.

Ud fra fortegnelsen kan man også se, at der kun er meget få par som bliver gift og får børn, eftersom befolkningstallet falder.

Beboelsesforholdene var dårlige i København, hvor størstedelen boede under meget beskedne forhold. København havde intet hospital i nutidig betydning hvilket betød, at myndighederne blev nødt til at leje en del gårde til at huse de syge, og alligevel var det umuligt at huse så mange syge.  Det var næsten umuligt at komme ud af byen pga. de militære vagtposter rundt ved voldene. Alligevel lykkedes det nogle af de rige folk at flygte på trods af isoleringen af København. De fleste læger flygtede ligeledes, hvilket fortæller os om hvor magtesløse lægerne har været.²⁶ I 1711 var der 15 akademisk uddannede læger i København, men det var kun fire af dem, som blev i København for at tage sig af de pestramte medborgere.²⁶  Befolkningen blev bedt om at holde sig inden døre. På de inficerede hjems døre, blev der malet et hvidt kryds, så myndighederne havde overblik over de inficerede. Vogne kørte gennem byen med ladet fyldt med døde pestofre, for at begrave dem uden for byens volde.

²³ Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 100)

²⁴ Matthiessen, Hugo – Fra den store pest 1711 (side 399)

²⁵ Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 100)

²⁶ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 120)

²⁶ Ibid. (side 102)

I præsten Hans Meslers dagbog, kan man læse om hans opfattelse af byen i år 1711²⁷. Præsten vender hjem til Danmark med et skib, akkurat som pestepidemien er ved at afslutte. 'Da vi kom hjem med vores skib, var det et bedrøveligt syn. På en del huse var vinduer og døre tillukkede; husene stod tomme og øde, hvide og sorte kors malede på dørene (…) Det var ligeledes et fælt syn på gaderne at se, hvordan pestvognene kørte af sted med de døde mennesker og førte dem ud til de indrettede kirkegårde nu uden for Østerport (…) Her på reden mødte os en meget hæslig lugt og røg af de i pesten besmittede sengeklæder, som blev brændt udenfor Østerport'²⁷. Ud fra hans skildring fornemmer man tydeligt pesten aftryk på København, men ud fra beretningen kan man også se de restriktive foranstaltninger som blev taget af myndighederne, så som afbrænding af sengetøjet for at slippe af med pestbakterien. Kilden virker rimelig objektiv idet præsten er observerende og hans beretning stemmer overens med øvrige historiske kilder.

Pestens konsekvenser

Pesten har utvivlsomt haft flere konsekvenser for Danmark både på lang sigt og kort sigt, men på grund af det manglende kildemateriale er det svært at bestemme hvilke specifikke konsekvenser pesten havde for Danmark. Generelt mener flere historikere at den danske udvikling kan afspejles i lande som f.eks. England.²⁸

Først og fremmest har pesten betydet en hel del for den danske demografi. Det har været svært at finde arbejdskraft til at klare landbrugets opgaver. Dette har formentlig delvist været med til at starte Enclosure-bevægelsen i Danmark i løbet af 1700-tallet , da der simpelthen ikke var mennesker nok til at dyrke markerne.²⁸ Den manglende arbejdskraft har formentlig også givet bønderne bedre arbejdsforhold, idet de var så få.

Under pesten følte mange kristne sig svigtet, da den etablerede kirke ikke havde formået at frelse folk. Flere kristne bevægelser forsøgte at reformere kirken, fordi de var trætte af dens hykleri og grådighed. Omkring år 1520  brød Luther med den katolske kirke, til fordel for protestantismen, som allerede i 1536, ved lov, blev Danmarks  trosretning inden for kristendommen.²⁹

²⁷ Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 120)

²⁸ (side 64)

²⁸ Ibid. (side 43)

²⁸ Ibid. (Side 120 – tekst 19)

²⁹ Thiedecke, Johnny – Pokker, Pest og Piller (side 33)

Benyttelse af modellerne

For at de matematiske modeller kan benyttes optimalt, skal pestepidemien leve op til den række af forudsætninger som modellen stiller.

En hel del af disse forudsætninger forhindrer at modellen anvendes til at repræsentere den historiske opfattelse af pestens udvikling. For det første udelukker forudsætning nr. 1, smitten via rotter.  På baggrund af min historiske redegørelse kan jeg også konstatere at forudsætning nr. 3 heller ikke gør sig gældende, idet den Københavnske befolkning ændrede adfærd i takt med de lovbestemmelser som f.eks. Kong Frederik den 4. udstedte. Forudsætning nr.  4 stemmer heller ikke overens med pesten i København, idet de rige havde bedre mulighed for at isolere sig i deres store huse. Til gengæld var antallet af flygtninge fra København meget lille, hvilket betyd at indbyggerantallet tilnærmelsesvis forblev det samme under hele epidemien.   I det hele taget vil SIR-metoden aldrig kunne give os et eksakt billede af pestens udvikling i Danmark.

Først og fremmest skal jeg bruge noget data jeg kan sammenlige SIR- og SEIRS-modellen med, til dette foretagne benytter jeg fortegnelsen³⁰ som blev beskrevet tidligere.

Ud fra fortegnelsen har jeg kumuleret antallet døde af pest i epidemiperioden ved at trække de individer fra som alligevel ville være døde, som er ca. 54 personer:

fig. 2 – Funktionen viser hvor mange mennesker der om ugen fra uge 23.

³⁰ kilde vedlagt i bilag 1

Jeg vil nu forsøge at bestemme mine parametre ud fra en række forudsætninger, som kildens datamateriale opstiller.

Antallet af inficerede er umuligt at bestemme, men ifølge en beretning kunne det have være 2 drenge, der bragte smitten fra Helsingør til hovedstaden omkring den 20. Maj³¹

Jeg ved, at Københavns befolkning bestod af ca. 60.000 indbygger hvoraf 2 er smittede derfor sættets S(0)=59998, I(0)=2 og t₀=19 uge. Der er ingen københavnere, som er døde af pesten endnu, derfor sættes R(0)=0. Ud fra kilden kan jeg se at antallet af døde om ugen falder til en normalværdi i 46, hvorefter antallet igen er omkring 54 døde om ugen. Dvs. R(46)=60.000.

Parametrene afhænger af hvilken form for pest, vi har med at gøre. Det er umuligt at finde ud af hvordan balancen mellem lungepest og byldepest lå helt præcist den gang, men hvis jeg antager at balancen ikke har udviklet sig siden den gang, er der flest tilfælde af byldepest, som beskrevet i begyndelsen af opgaven. For at modellen fungerer vælger jeg derfor de kriterier der gælder for byldepest for at fastholde en enkelt opfattelse af parametrene.

Jeg vil nu forsøge at tilpasse mine parametre så kurverne passer til disse forudsætninger.

b estimerer jeg til 0,23, hvilket giver en sygdomsperiode på 4,35 dage, hvilket passer nogenlunde med, at der gik mellem 3 og 7 dage mellem smitte og dødsfald³².  c bliver 2,3 for at graferne passer, hvilket medfører en a værdi på 3,83·10^-5. Graferne ser således ud:

³¹ Thiedecke, Johnny – Pokker, pest og piller (side 25)

³² Mikkelsen, Hanne og Ingelise Kahl – Pest over Danmark  (side 52)

For at sammenligne SIR-modellen med figur 2 har jeg dannet en kurve over dødligheden D(t) ud fra R(t) som svarer til 33% af R(t) dette er et bud på hvordan udviklingen har været, idet der til slut var  som døde, men gennem hele forløbet har det højst sandsynligt ikke tilfældet.

Sammenligner man dele fig. 3 (rød) med fig. 2 (blå) kan man se at kurverne bevæger sig lidt forskelligt. På fig. 2 kan man se at hældningen er størst omkring uge 34-35, hvilket også gør sig gældende på fig.5. Dette er altså det sted hvor der er flest der dør. Til gengæld ser det ud som om at kurven på fig. 1 stiger mere løbende, hvorimod den på fig.5 i højere grad stiger eksponentielt, hvilket også betyder at D(t) starter sin stigning senere. Denne måde at sammenligne figurerne kan netop lade sig gøre, idet differentialligningerne er koblede til hinanden.

Jeg vi nu inddrage SEIRS-modellen, for at vise hvordan SEIRS-modellen grafisk adskiller sig fra SIR-modellen:

Det er umuligt at bestemme hvor mange der bliver immune over for pest, men jeg har sat h til 0,1 for at give et billede af hvordan det kunne have set ud. Parameteren g sættes til 1, for at kurven repræsenterer virkeligheden så godt som muligt. Det specielle ved SEIRS-modellen er, som tidligere nævnt, at den giver et billede af hvor mange inficerede, der endnu ikke kan smitte, og hvor mange der bliver modtagelige over for sygdommen igen. Ud fra grafen kan man nemt se, at epidemien aldrig slutter, idet graferne, efter epidemiens højtepunkt, er konstante.

Diskussion af SIR- og SEIRS-modellerne med influenza i betragtning

Som eksempel på en sygedomsepidemi, hvor man med større succes kan anvende SIR og SEIRS-modellen kan nævnes influenza, da den i højere grad lever op til modellernes forudsætninger. Hvilken model man benytter afhænger af hvilken from for influenza der er tale om. Der findes to slags influenzaer som er skyld i et epidemi-udbrud, nemlig a og b.

Desuden udvikle der hele tiden nye former for influenza, så som fugleinfluenzaen og svineinfluenza der i 2009 udviklede sig til en pandemi³³. Influenzaepidemien rammer hvert år i vinterhalvåret og antallet af inficerede skifter mellem 1-10%³⁴. Inkubationstiden for influenza er max. 1 dag, hvilket betyder at det ikke er nødvendigt at tage højde for inkubationstiden. Influenza smitter fra menneske til menneske. Det  er ikke alle der danner antistoffer over for virussen³³ og til at illustrere det kan man benytte SEIRS-modellen.

Den forudsætning som er sværest at opfylde er fastholdelse af parametrene og konstanten N i og med, at en influenzaepidemi får folk til at ændre adfærd. I den globaliserede verden er det svært at fastholde populationsstørrelsen. SIR- og SEIRS-modellen ville være ideal til at give et overskueligt billede af en influenzaepidemi i en lukket intuition, som f.eks. på en kostskole som Allan L. Jensen beskriver i sin bog³⁴. Som konklusion kan SIR- og SEIRS-modellen vil altså kunne give et bedre billede af en influenzaepidemis udvikling end pestens udvikling.

³³ http://da.wikipedia.org/wiki/Influenzapandemien_2009 (13.12.14

³³  http://www.netdoktor.dk/sygdomme/fakta/influenza.htm (15.12.14)

³³ Ibid. (15.12.14)

³⁴ Jensen, Allan –  Epidemiologi, Den klassiske SIR-model (side 41)

Diskussion af håndteringen af epidemier i dag

Influenzaepidemierne er den mest hyppige og aktuelle epidemi i Danmark. Den danske befolkning, bliver hvert år opfordret til at blive hjemme, hvis man har symptomerne for influenza. Det er vigtigt at de danske medier, informerer om smittemekanismen, så antallet af inficeret bliver så minimalt som muligt. Sundhedsstyrelsen tilbyder i dag vaccinationer for influenza, med henblik på at reducere risikoen for at videregive af smitte.

For at undersøge hvordan de danske myndigheder ville holde en epidemi-udbrud ude af Danmark i år 2014 er det interessant at kigge på sundhedsstyrelsens retningslinjer for håndteringen af den aktuelle ebolaepidemi. Ebola ligner på mange måder pesten, idet dødligheden ved den hyppigste form for ebola anslås at ligge på omkring 50% og sygdommen smitter nogenlunde ligeså hurtigt. Inkubationstiden er også  tilnærmelsesvis den samme.³⁵

Vi lever i dag i en utrolig globaliseret verden hvor en epidemi på ingen tid kunne udvikle sig til en pandemi, hvis man ikke tager sine forbehold. I en globaliseret verden er det vigtigt, at der på internationalt plan bliver holdt nøje øje med det der kunne ligne starten på en epidemi. Denne opgave står organisation WHO (World Health Organisation) for. Deres job består i at advare resten af verden, således at lande som Danmark kan tage de rette foranstaltninger for at holde sygdommen ude eller nede. Det er netop lignende matematiske metoder, som der er blevet redegjort for i opgaven her, som organisationen WHO benytter for at afgøre om der er tale om en epidemi, og som gør det muligt at gribe ind før den udvikler sig til en større pandemi.

Nogle af Sundhedsstyrelsens forholdsregler mod ebola ligner umiskendeligt de samme, som man i Danmark brugte for at holde pesten ude, bare i større udstrækning. I Danmark er der bl.a. blevet oprettet flere karantænestationer i tilfælde af virussen skulle komme til Danmark her kan der bl.a. refereres til Skydstrup flyvestation. Samtidig har man også udviklet et tættere samarbejde mellem fly, lufthavne og sundhedsvæsen, således at Danmark kan isolere sig fra de ebola inficerede lande. Det skal dog siges at isolationen ikke foregår på præcis samme måde, men derimod er der stører fokus på isolation og hygiejne når det kommer til den enkelte patient, vi laver nemlig ikke indrejseforbud.

Løbende træner myndighederne og personale også den procedure, som sundhedsstyrelsen har fremsat. ³⁶

Det som adskiller sig mest i forhold til 1700 tallets håndtering af pesten er vores højtudviklede lægevidenskab og kommunikationsmidler, som gør os i stand til bedre at kunne administrere Danmarks isolering.

³⁵http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs103/en/ (12.12.14)

³⁶http://sundhedsstyrelsen.dk/da/nyheder/2014/~/media/E2F3BA294AF141C59F1DF154B4EF9326.ashx?m=.pdf (12.12.14)

I 1711 fandtes der, som tidligere beskrevet ikke et eneste hospital i nutidig betydning i København,. Derudover blev kun meget få af de universitetsuddannede læger i København for at hjælpe de syge, dvs. tilbage var kun de underuddannede barbere til at agere som læger. I dag er der oprettet isolationsstuer i tilfælde af et virus udbrud. Det er også blevet nemmere at informere folket med de forholdsregler som skal tages, både via fjernsynet og internettet, hvilket var svært i 1700-tallet, især taget i betragtning at en stor del af landes befolkning var analfabeter³⁷. Det er altså især den præventive håndtering af epidemier, som har udviklet sig siden 1700-tallet, specielt i form af det hygiejniske miljø, som vi lever i dag, hvilket har stor betydning for spredning af sygdom.

Konklusion

Pesten kom til Danmark for første gang i år 1349, og man regner med 50 procent døde under denne epidemi.  Epidemien slog for sidst gang til i år 1710, hvor kun 33 procent menes af dø pga. sygdommen. Det lykkedes Danmark, i en årrække, at holde pesten uden for Danmark, og jeg kan derved konkludere at isolationspolitikken og karantænestationerne har vist sig nyttige. Endvidere kan man konkludere, at grunden til pestens forsvunden ikke kan bestemmes endegyldigt, og at flere faktorer formentligt har spillet ind. Nogle forskere mener det skyldes immunitet over for bakterien, mens andre mener at forbedret hygiejne var årsagen.

Pesten har gennem tiden haft enorme konsekvenser for det danske samfund både demografisk, socialt og trosmæssigt. Man kan også konkludere at håndteringen af epidemier har udviklet sig siden 1700-tallet, men at flere aspekter går igen i nutiden.

Endvidere kan jeg konkludere, at de matematiske modeller er meget følsomme over for variation i tidsstepsne og at det gælder om at gøre tidsstepsne så små som muligt for at Eulers metode fungere. Jeg kan også konkludere at det matematiske modeller ikke fungerer optimalt til at repræsentere den historiske opfattelse af pestens udvikling. Dette skyldes bl.a. manglede viden om pesten, og at epidemien ikke lever op til alle modellens forudsætninger. Dog har det alligevel været muligt at give et nogenlunde billede på hvordan epidemien har udviklet sig.  Jeg kan til sidst drage den konklusion, at modellerne er mere velegnede til beskrivelsen af influenzaepidemierne, som til stadighed dukker op med års mellemrum.

³⁷ Mikkelsen, Hanne Guldberg og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (side 42)

Litteraturliste:

Historie:

– Bøger

Frandsen, Karl-Erik – Kampen mod pesten: Karantænestationen på Saltholm 1709-1711 (2004 Frydenlund)

Mikkelsen, Hanne Guldberg og Ingelise Kahl – Pest over Danmark (2006 Gyldendal, 1. udgave)

Møller, Jan – Borger i Holbergs København (1982 Sesam)

Thiedecke, Johnny – Pokker, Pest og Piller (1995 PANTHEON, 1 udgave)

– Links

http://www.ssi.dk/Service/Sygdomsleksikon/P/Pest.aspx (04.12.2014)

http://www.denstoredanske.dk/barber (verificeret) (08-12-14)

http://sundhedsstyrelsen.dk/da/nyheder/2014/~/media/E2F3BA294AF141C59F1DF154B4EF9326.ashx?m=.pdf (12.12.14)

http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs103/en/ (12.12.14)

Matematik:

• bøger

Andresen, Viggo – Introduktion til matematisk infektionsepidmiologi (2004 IMFUFA)

Baktoft, Allan – Matematik i virkeligheden (2011 Natskyggen, 1.udgave)

Borch, Tommy, Poul Østergaard og Hans Jensen – Numerisk Analyse i gymnasiet (1979 Frederikssund arbejdsgruppen Aps)

Jensen, Allan –  Epidemiologi, Den klassiske SIR-model (2000 Allan Lind Jensen)

– links

http://www.math.ku.dk/~moller/e04/bio/notes/bionotes.pdf (08.12.14)

Bilag 1.

Fra Møller, Jan – Borger i Holbergs København (side 100)