SRP: Udviklingen af differentialregning og integralregning

Udviklingen af differentialregning og integralregning

Abstract

The main subject of this project is the differential and integral calculus. This research accounts for the scientific revolution in Europe during the 17^th century. Furthermore it accounts for the evolution of the differential and integral calculus, and also explains the difference between Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz’s methods of the infinitesimal calculus. Among these there is an explanation of the differentiation rules, and how the methods were used to find the tangent to the curve including an analyzed example. At last there is an assessment of Newton and Leibniz’s impact on mathematics, the mathematical method and science in general. The work method has been historical method for the assessment and experimental mathematics alongside with the mathematical deductive method for the mathematics. The research revolves around, how the differential and integral calculus was developed and the significance of its development. To conclude the differential and integral calculus is the greatest breakthrough in the history of mathematics.

Indledning

I denne opgave vil man redegøre for den naturvidenskabelige revolution i Europa i 1600-tallet. Derudover vil man redegøre for udviklingen af differential- og integralregningen samt forskellen på Newton og Leibniz’ metoder inden for infinitesimalregning. Herudover vil man forklare, hvordan Newton og Leibniz’ metoder blev anvendt til tangentbestemmelse og regneregler for differentialer. Man vil her have inddraget et analyseret eksempel for hver metode. Til slut vil man vurdere Newton og Leibniz’ betydning for matematikken, matematisk metode og naturvidenskaben generelt.

Den naturvidenskabelige revolution i Europa i 1600-tallet

Renæssancen var en storslået tid i Europa. Det var en tid bestående af opdagelser og opfindelser. Deriblandt havde man en naturvidenskabelig revolution. Den naturvidenskabelige revolution i Europa begyndte allerede i slutningen af det 15. århundrede, hvor Columbus rejste til Amerika. Dette var et symbol på, at folk var begyndt at gå ud i verden og tage på opdagelsesrejser og afprøve deres teorier. Dette var ikke kun, at man fysisk tog ud i verden. Det var også, at man inden for det naturvidenskabelige begyndte at afprøve sine teorier. En mand, der i særdeleshed revolutionerede den videnskabelige verden, var Nikolaus Kopernikus. Han var polsk astronom i starten af 1500-tallet, hvor han brød med det geocentriske verdensbillede. Det geocentriske verdensbillede sagde, at alle planeter og stjerner drejede rundt om Jorden, altså Jorden var centrum af universet. Kopernikus udgav en bog, hvori han udlagde sin teori omkring det heliocentriske verdensbillede. Han mente, at alle planeter drejede sig rundt om Solen og ikke Jorden. Dette var der store protester imod fra den katolske kirke, og man godtog ikke det kopernikanske system før nogle århundreder senere. Selvom man ikke godtog planetsystemet, så havde Kopernikus’ udlægning sat gang i noget, en revolution. Man fandt ud af, at en videnskabelig model ikke behøvede at være korrekt for, at man kunne videreudvikle på videnskaben.[1]

I 1620 udgav Francis Bacon værket Novum Organum, hvori han beskrev den nye naturvidenskabelige metode, der var opstået. Han kritiserer Aristoteles metode, hvor man blot samler resultater ind og ikke gør mere med dem. I sit værk siger han således, om dem der følger Aristoteles’ eksempel: ”Empiristerne er som myrer: de samler og forbruger; resonnørerne ligner edderkopper, som danner spind ud af deres egen krop.”[2] Her er empiristerne og resonnørerne Aristoteles’ tilhængere. Han går så videre til at beskrive den rigtige metode og sammenligner det med en bi, der indsamler materiale fra forskellige steder, for så at gennemgå og omdanne det ved egen kraft. Bacon er ikke selv videnskabsmand indenfor hverken naturvidenskaben eller matematikken, men han snakker om det principielle i videnskabernes forskning, og dermed har han betydning for naturvidenskabens metode. Hans begrundelse for forskningen i naturen ligger i religionen, for han mener, at mennesket igen skal være herre over naturen, som det var før syndefaldet(fra det gamle testamente indenfor kristendommen). Han vil derfor granske og gå i dybden med naturens mysterier og løse dem, hvilket han mener, man kan med denne nye naturvidenskabelige metode.[3]

I det 17. århundrede begyndte man at eksperimentere med naturen, hvilket førhen havde været fordømt, da man skulle gå i Aristoteles’ fodspor. Aristoteles fordømte eksperimenter, fordi han mente, at eksperimenter var kunstigt tilrettelagte fænomener, der derfor ikke var naturen i den sande forstand. Aristoteles afviste teknologi.[4] Derudover afviste Aristoteles tilmed, at matematik kunne bruges til at beskrive naturvidenskabelige fænomener, fordi naturvidenskabelige fænomener er i bevægelse og forandrer sig med tiden, hvilket var i modstrid med matematikken, som er for evigt bestemt og uforanderlig. For at støtte op om det aristoteliske syn på matematik skrev Vincenzio Grazia et modskrift mod Galilei i 1613, hvor han sagde følgende: ”Jeg hævder altså, at enhver videnskab og enhver kunst har sine egne principper og sit eget grundlag…”[5] Han fortsætter med at sige, at man selvfølgelig ikke kan bevise den ene videnskabs virkninger med den anden videnskabs principper. Denne påstand bliver der gjort oprør imod og en ny holdning til matematikken blomstrer frem. Johannes Kepler tilfører matematikken en guddommelig status, specifikt geometrien. Om denne siger han følgende: ”Geometrien går forud for tingenes skabelse og er lige så evig som Guds ånd; den er Gud selv…”[6] Kepler ledte efter det æstetiske i universet, og han fandt det i geometrien, da han opdagede, at planeterne bevægede sig i ellipseformede baner rundt om Solen.[7]

I 1600-tallet skulle videnskabsmændene ikke kun kæmpe med at bevise deres teorier, men de skulle også kæmpe med kirken, som var imod det heliocentriske verdensbillede og den nye naturvidenskabelige metode. Det passede ikke ind i deres gudsbillede, at alt ikke drejede sig om Jorden, da Jorden ifølge Bibelen var Guds skabelse, og derfor skulle denne være midtpunkt for al skabelse, hvilket det heliocentriske verdensbillede gik imod. På trods af denne modgang fra kirken, som havde stor magt i 1600-tallet, lykkedes det for naturvidenskaben at sejre. En stor del af denne sejr skal tilegnes til Galileo Galilei, fordi han gjorde op med kirken og forlangede sandheden igennem iagttagelser og slutninger gennem naturvidenskabelige metoder, hvori han tillagde matematikken stor vægt.[8] Man oplevede en stor fremgang, og det var en tid fyldt med opdagelser og opfindelser. Man opfandt teleskopet, som blev anvendt til astronomiske observationer. Dette førte til, at man nu kunne se Venus’ faser, solpletter, fire af Jupiters måner og månebjerge. Indenfor matematikken skabte René Descartes den analytiske geometri, som var banebrydende indenfor matematikken, for nu kunne man beskrive geometrien med tekst. Man kunne omforme geometri til algebra. Endnu en opdagelse kommer fra Johannes Kepler, som fastlagde tre naturlove, som nu til dags er kendt som Keplers love: 1.lov: Planeterne bevæger sig i ellipsebaner med Solen i det ene brændpunkt. 2.lov: Arealhastigheden er konstant i hele bevægelsen. 3.lov: En planets omløbstid om Solen i 2. potens er ligefrem proportional med planetens middelafstand til Solen i 3. potens.[9] Isaac Newton opdagede også følgende tre love, som er kendt som Newtons love. Disse omhandler tyngdekraften. Herudover opdagede Newton også både lysets farveegenskaber og differential- og integralregningen.[10] En anden, der også opdagede differential- og integralregningen, var Gottfried Wilhelm Leibniz, hvilket han gjorde uafhængigt af Newton. Der er flere tilfælde af opdagelser, hvor flere videnskabsmænd har opdaget det samme uafhængigt af hinanden, hvilket påviser denne bølge af nysgerrighed efter ny viden.

Udviklingen af differentialregningen

Udviklingen af differentialregning begyndte helt tilbage i det gamle Grækenland, hvor grækerne udviklede nogle tangentkonstruktioner til keglesnit. De havde to betingelser for tangenten hvilket var følgende:
”1) Den skal have et fælles punkt med kurven, mens

2) alle andre punkter på linjen ligger uden for kurven”[11]

De beskrev hver kurve for sig og fik ikke frembragt nogle generelle metoder til tangentkonstruktion. Det berømteste værk blev skrevet af grækeren Apollonios, som var matematiker. Værket han skrev hed Konika, som betyder keglesnit. Heri havde han blandt andet nedskrevet tangentkonstruktioner til keglesnit. Derudover blev der konstrueret tangenter til Archimedes spiral. Fra Apollonios til 1600-tallet kender man ikke til andet differentialmatematik.[12]

I det 17. århundrede begyndte interessen for differentialregningen igen at spire frem, og man ønskede at bestemme tangenter til forskellige kurver. Den første person man kender til, der udviklede videre på tangentbestemmelse, var franskmanden René Descartes. Han udviklede det, som er kendt som Descartes normalmetode, hvilket blev udgivet i 1637. Denne metode blev brugt til at bestemme tangenter til cirkler. For hans metode måtte følgende være opfyldt for cirklen:

”1) centrum ligger på abscisseaksen og

2) punktet hvori tangenten ligger, ligger på cirkelperifien.”[13]

Hvor abscisseaksen er 1.aksen. Derudover havde Descartes også udviklet den analytiske geometri, som gjorde en i stand til at nedskrive geometrien i koordinatsystemer, med det man i dag kalder for funktioner. Han gjorde, så det blev muligt at nedskrive grafers ligninger.

Den næste store matematiker til at udgive en metode til bestemmelse af tangenter var franskmanden Pierre de Fermat. Han havde udviklet en metode, som minder meget om differentialregningen i dag, men han manglede forskellige forklarende træk. Han gjorde brug af størrelsen e, men han forklarer ikke hvilken slags størrelse, det er. Han gør blot brug af den, så metoden fungerer. Han har manglet det sidste skridt. Hans metode virker, men han kan ikke forklare hvorfor.[14]

Dette kan Leibniz og Newton til gengæld. De har udviklet deres egne metoder, men heri er den fuldstændige udlægning af differentialregningen.

Wilhelm Gottfried Leibniz var en tysk matematiker som levede og lavede sine største opdagelser i slutningen af 1600-tallet. Han opdagede på egen hånd differentialregningen og udviklede denne. Han forestillede sig, at man havde en kurve, som bestod af uendelig mange uendelig små linjestykker, ligesom man gør i dag. Han forestillede sig, at alle disse linjestykker gennemløb x og y i en række tætløbende værdier. Differentialet dx er differensen imellem de på hinanden liggende x-værdier, og differentialet dy er differensen mellem de på hinanden liggende y-værdier. Leibniz sagde så, at tangenten til et punkt på linjen var en forlængelse af det uendeligt lille linjestykke i det pågældende punkt. Han bestemte derefter, at hældningskoefficienten for tangenten måtte være følgende:

For at kunne bestemme  for eksempelvis en parabel med ligningen  har man brug for regler for differentialet af et produkt og en differens. Leibniz brugte disse ligninger til at bestemme reglerne:

x + dx = x (da dx er så forsvindende lille hvis man sammenligner med x)

x * dx + dx * dy = x * dx (da dx∙dy og dy∙dy er så forsvindende små hvis man sammenligner dem med x eller y)

Han bestemte med disse ligninger hermed følgende regler:

Produktreglen: 

Kvotientreglen: 

Leibniz beviser derefter produktreglen. Under sit bevis opdager han, at d(x*y) er differentialet for to på hinanden efterfølgende værdier. Disse to værdier er følgende:

x * y og (x + dx) * (y + dy)

Derefter beviser han så produktreglen:

d(x * y) = (x + dx) * (y + dy) – x * y = xy + xdy + ydx + dxdy – xy

Da følgende ligning gælder x * dx + dx * dy = x * dx får man følgende:

xdy + ydx + dxdy = xdy + ydx

xdy + ydx = d(x * y)

Ergo produktreglen er bevist. Herefter beviser han kvotientreglen, hvor man har de samme to værdier som foroven:

Man forlænger den første brøk med x og den anden brøk med x+dx for at få en fællesnævner:

Her kan man erstatte  med  , da xdx er så uendeligt lille i forhold til x²

Ergo man har bevist kvotientreglen.[15]

Man benytter Leibnizs metode og regneregler ved at bestemme en tangent til funktionen  i punktet P(3,9):

Man tager differentialet af ligningen, hvor man benytter produktreglen:

Man kaster de sidste to led væk, da de er uendeligt små sammenlignet med det øvrige led:

Man har nu bestemt differentialkvotienten  til  og kan nu bestemme hældningskoefficienten for tangenten i P:

Man benytter nu tangentens ligning til at bestemme b:

Man bestemmer tangenten i punktet P(3,9) til:

Isaac Newton var en af tidens store sind. Han gjorde sig inden for mange forskellige fag og lavede mange opdagelser deriblandt differentialregningen, som han udviklede på egen hånd. Hvor Leibniz så meget matematisk og teoretisk på matematikken, var Newton mere praktisk og fysisk med sin udvikling af infinitesimalregningen. Dette kan ses ved, at han mener, at både x og y er funktioner af tiden t. Hans opfattelse af en kurve er, at det er en bane for et punkt, som bevæger sig i planen. Punktet beskrives ved brug af x og y og bevæger sig med tiden, hvilket betyder at x og y varierer med tiden. Newton kalder en størrelse, som varierer med tiden (for eksempel x og y) for en fluent. Den hastighed som fluenten (x eller y) bevæger sig med, kalder Newton for en fluxion og denne betegnes med henholdsvis  og . Med nutidig notation vil det være følgende:  og  . Newton definerer, at bevægelsens hastighed er givet, idet kurven er givet, andet siges ikke. Bevægelsen er punktet, hvori tangenten rammer kurven, og hastigheden er tangentens hældningskoefficient. Hastigheden er sammensat af en lodret () og vandret () bevægelse. Hastigheden for kurvepunktet (banepunktet) bestemmes ved at sammensætte hastighederne i lodret og vandret retning. Man følger parallelogramloven, hvor diagonalen der udspændes mellem  og  giver retningen til banepunktets hastighed altså differentialkvotienten eller hældningen til tangenten. Det vil sige at forholdet  mellem  og  er lig med hældningskoefficienten til tangenten i det pågældende punkt. Dette er illustreret figur 1:

Newton laver et eksempel med en kurve, hvis ligning er følgende:

Han bestemmer, at man har et uendeligt lille tidsrum, hvor fluenten eksempelvis x vil have en lille tilvækst, man kalder for . Det lille tidrum kaldes for o, og da dette tidsrum er så småt, kan man sige at hastigheden, fluxionen  er konstant i dette lille tidsrum. Det samme er gældende for . Newton siger nu, at punktet (x,y) bevæger sig  hen ad kurven til punktet . Man indsætter nu  i stedet for x og  i stedet for y i kurvens ligning:

Man kan reducere den til følgende da :

Man dividerer igennem med o:

Da leddene med o i er uendeligt små i forhold til de andre led, forkaster man disse led og får:

Man omskriver:

Dette er Newtons metode for alle kurver.[17]

Man benytter Newtons metode og regneregler ved at bestemme en tangent til funktionen i punktet P(3,9):

Man bestemmer forholdet  mellem  og  ved at benytte metoden gennemgået foroven:

Da  kan ligningen reduceres til:

Man dividerer igennem med o:

Man forkaster led med o i, da de er så uendeligt små i forhold til de andre led:

Dermed:

Man bruger nu samme metode som ved udregning ved brug af Leibniz metode og får tangentens ligning til:

Udviklingen af integralregningen

Man kan finde arealberegninger helt tilbage i oldtiden. Arealberegningen fandtes i den babyloniske matematik, hvor man beregnede arealer af retlinjede figurer. Denne kultur kan spores tilbage til ca. 3500 år f.v.t. Dog er den første kilde, hvor man kan finde arealberegninger skrevet af Ahmes i ca. 1650 f.v.t., som har kopieret Papyrus Rhind fra en ældre papyrus. Dette betyder, at man havde arealberegning før 1650 f.v.t på trods af, man ikke har nogen kilder før den tid.

Tilbage i antikken fik man udformet Pythagoraes læresætning til at beregne arealet af en retvinklede trekant. Herudover havde man Hippokrates fra Chios, som arbejdede med kvadratur af halvmåner. Det lykkedes ham at bestemme arealet af halvmåner, hvis cirkelafsnit er ligedannede, ved at udnytte en retvinklede trekant.[18] Dette er illustreret i bilag 1.

De græske matematikere gjorde også brug af exhautionsmetoden. Exhautionsmetoden går ud på, at man laver en polygon, som man bliver ved med at opdele for til slut at beregne arealet af polygonen. Archimedes brugte denne metode til at bevise at en parabel, som har samme højde og grundlinje som en trekant gælder følgende for:

Dette illustreres i bilag 2. Archimedes fik bevist denne formel med exhautionsmetoden, men han har nogle hjælpesætninger, som ikke bliver forklaret blot brugt for, at man får det postulerede resultat.[20]

Inden for den arabiske matematik i middelalderen forsøgede man sig også med at beregne parablens areal. Her havde man følgende sætning:

Parablen er uden begrænsning, men ethvert af snit af den er lig med  af det paralellogram, der har samme grundlinje og samme højde som afsnittet.

Denne sætning blev udformet af Thabit ibn Qurra omkring slutningen af det 8. århundrede. Han var født i Harrn i Mesopotamien (nuværende Tyrkiet). Her var han vekselerer, før han blev opdaget på grund af hans sprogkundskaber. Han blev nu til en kyndig oversætter, og samtidig med dette arbejdede han med matematikken, og var kyndig i mange andre fag.[22]

Den næste gang der dukker noget integralregning op er i det 17. århundrede, hvor først Johannes Kepler forsøger sig med at bestemme cirklens areal. Her bestemmer han, at hvis man udstrækker cirklens periferi til en retvinklet trekants katete og har cirklens radius som den anden katete, så er arealet af den trekant lig med arealet af cirklen, hvilket er illustreret i bilag 3.[23]

Herefter forsøgte Isaac Barrow sig med en geometrisk sætning for arealbestemmelse hvor tangenten til kurven indgår. Med vores viden i dag kan man se, at Barrow egentligt opdagede sammenhængen mellem differential- og integralregning, at funktionen for arealet under kurven er stamfunktion til funktionen for kurven. Dog skriver Barrow blot om en geometrisk sætning, da han benytter den klassiske græske opfattelse af en tangent. Dette bliver publiceret i 1670[24], men Newton havde allerede i 1669 bestemt, hvordan man bestemmer arealet under en graf.

Newton lavede integraltabeller(tabeller for stamfunktioner) for mange forskellige kurver ved at beregne  for sammenhængen mellem z og x. Her er z arealet under kurven og  er hastigheden som arealet vokser med. Man viser et eksempel på denne beregning for regel 1, som Newton har kaldt den:

regel 1: hvis , så vil  være lige med arealet ABD

Newton baserede dette på figur 2.

Her er følgende ting gældende:

arealet af ABD = z og  og  og BK = v og 

Newton benytter følgende eksempel til at bevise reglen:

I denne ligning er z arealet under ligningens graf (funktionens graf). Det vil sige at z svarer til det man i dag kalder for stamfunktionen og y svarer til funktionen. Med nutidig notation er det følgende:

F(x) = z og f(x) = y = F'(x)

Der gælder også følgende:

 og 

Man indsætter nu x+o i stedet for x i ligningen for z og erstatter z med z+ov:

Nu omskriver Newton ligningen til følgende:

Da følgende sammenhæng mellem z og x gælder:  er følgende gældende:

Man dividerer igennem med o:

Man sætter o til at være uendeligt lille(det vil sige i beregningerne bliver den nul), og så kan man sætte v=y da v * 0 = 0 og y * 0 = 0. Derudover vil led multipliceret med o blive nul, da o er forsvindende lille:

Man laver en omskrivning:

Man indsætter z:

Man isolerer nu y og bestemmer, hvad man i dag kalder for funktionen:

Dermed er reglen bevist fordi når man indsætter y i reglen får z:

Leibniz definerede en kurve som det samme som en polygon med uendelig mange vinkler. Hvis man har et punkt, som gennemløber kurven, så vil punktet antage alle abscisse- og ordinatværdier (x og y). Disse værdier vil også være der, hvor polygonens vinkelspidser ligger. Imellem hver værdi vil der være et differentiale, som er infinitesimal. For variabelen x vil det være dx, og for variablen y vil det være dy ifølge Leibniz. Der gælder så, at man kan lave et uendeligt antal af rektangler ved at sige y* dx, da rektanglernes sider er uendeligt små, vil der kunne være uendeligt mange. Leibniz sagde så, at for at få arealet under kurven, tager man summen af alle rektanglernes arealer, og så har man arealet under kurven. Til dette udtryk opfandt Leibniz et symbol, som i det 17. århundrede var en forkortelse af det latinske ord summa. Dermed vil formlen for alle kurvers areal være:

Senere opdager Leibniz sammenhængen mellem differential- og integralregning, da han generaliserer nogle summer og differenser i talfølger. I 1680 forklarer han disse talfølger, som han har fundet frem til. Hans talfølger er følgende:

[27]

Leibniz opdager nu, at hvis han tager summen af differensfølgen, så får han følgen:

1,

1 + 2 = 3,

1 + 2 + 3 = 6,

1 + 2 + 3 + 4 0 10, osv.

Ergo følgende gælder:

Han kan også se, at differensen af sumfølgen giver følgen. Det vil sige differensen mellem tal fra sumfølgen og tallet til venste herfor:

0,

1 – 0 = 1,

4 – 1 = 3,

10 – 4 = 6, osv.

Ergo følgende gælder:

Disse overvejelser gør, at Leibniz opdager de egenskaber symbolerne d og  har som inverse af hinanden, hvilket jo er differential- og integralregningens hovedsætning. Når man integrerer skal det integrerede kunne differentieres og give udgangspunktet.[28]

Forskellen mellem Newton og Leibniz’ infinitesimalmetoder ligger i, at Newton definerede kurver som baner for et punkt, der bevæger sig i planen afhængigt af tiden. Dette punkt kan så beskrives ved brug af abscissen x og og ordinaten y. Disse to værdier er derfor hver især afhængig af tiden. Newtons infinitesimalmetode er meget mere praktisk og tiltaler den fysiske interesse, da kurvens punkt er i bevægelse. Det siger også noget om Newton i den forbindelse, at han kiggede mere på den praktiske brug af matematikken, hvorimod Leibniz koncentrerede sig mere om teorien. Dette giver også meget god mening, da Newton, foruden at opdage differential- og integralregning, også lavede mange fysiske opdagelser. Ved at gøre punktet afhængigt af tiden ville metoden være klar til at beskrive forskellige naturvidenskabelige fænomener, som for eksempel planeters baner.

Newtons og Leibniz’ betydning for eftertidens matematik

Newton og Leibniz har haft stor betydning for matematikken. Efter deres opdagelse havde videnskaben nu fået et nyt redskab til at forklare hvordan verden hænger sammen. Deres opdagelse af infinitesimalregningen gjorde, at man nu var i stand til at løse problemer, man ikke førhen havde været i stand til indenfor matematikken. Denne store opdagelse indenfor matematikken gjorde, at man blev inspireret til at udforske matematikken for matematikkens skyld.[29] Det bidrog til den videre udvikling i matematikken. Leibniz’ dannelse af symbolerne d og  havde betydning for det matematiske sprog i og med, at han skabte universelle symboler for matematikken. Det har relevans for udbredelsen af matematik, da det er med til at skabe et universalsprog for matematikken.

Indenfor den matematiske metode var differential- og integralregningen blevet til et fremragende analyseredskab.[30] Dette på trods af at der var mange kritikere overfor infinitesimalbegrebet. En af dem, der især kritiserede infinitesimalregningen for at mangle forklaringer, var George Berkeley. Berkeley var i 1734 blevet udnævnt til biskop af Cloyne i det sydlige Irland, hvilket forklarer, hvorfor hans forklaring for infinitesimalregningen er baseret på det guddommelige. Han udpegede manglerne i infinitesimalregningen, hvori Newton ikke kunne forklare, hvordan han var kommet på disse minimale størrelser.[31] Berkeley sagde ikke, at teorien var fejlagtig, for den virkede jo, men han kritiserede videnskabsmændene for at påstå, at de var ikke-troende, da de troede på infinitesimalregningen. Han udtrykte, at det mysterium, som infinitesimalregningen var, var Guds værk.[32] Berkeley prøvede med denne bog at få videnskabsmændene til at bevare troen og ikke blot mene, at de skal se det, før de tror på det. En anden fransk matematiker kritiserede Leibniz’ teori for at indeholde fejl. Det var Michel Rolle (levede 1652-1719), der sagde følgende om Leibniz’ teori: ”For mig at se har det nye system ikke været produktivt for sandheden og det forekommer mig, at det ofte dækker over fejl.” Heri henviser han til at geometrien ses traditionelt som en eksakt videnskab, men denne eksakthed har Leibniz forpurret med sine infinitesimale størrelser.[33] Selvom om der var mange kritikere, var der en udbredt accept af, at man muligvis ikke fuldstændigt kunne forklare teorien bag infinitesimalregningen, men det passede og gav de rigtige resultater. Derfor måtte det være sandt. Denne holdning var meget typisk for perioden som forklaret i afsnittet omkring den naturvidenskabelige revolution. Man havde indset, at der var nogle fænomener, som man endnu ikke var i stand til at forklare.

Newtons fluxionsregning havde en stor betydning for naturvidenskaben. Opfattelse af en kurve som bane for et punkt gjorde, at man kunne forklare og fastlægge planeternes baner i universet. Derudover var det muligt at udregne de forskellige planeters hastighed. Man kunne formå at løse mysteriet omkring kometer. Før Newtons teori troede man, at kometer skulle tolkes som varsler, men i 1705 regnede Edmund Halley på nogle optegnelser for syn af en komet og kunne på baggrund af differential- og integralregning bestemme kometens omløbstid til 76 år. Kometen er i dag kendt som Halleys komet.[34] Derudover ledte det også til opdagelsen af nye planeter. Da Newton opdagede teorien kendte man kun til 6 planeter. Man opdagede senere Uranus og beregnede sig ved hjælp af Newtons teori frem til Uranus’ bane. Senere så man så uregelmæssigheder i Uranus’ bane og undersøgte både, om Newtons teori havde slået fejl, og om der var tale om en ny planet. Det viste sig, at det var Neptun. Til slut opdagede man også Pluto ved at regne sig frem til dens bane. Dette er endnu et eksempel på hvilken betydning fluxionsregningen havde. På baggrund af fluxionsregningen opdagede man tre nye planeter.

Fluxionsregningen gjorde, at Keplers love kunne beskrives matematisk og det samme gjaldt for Newtons love. Generelt set gav Newtons måde at beskrive bevægelse på en stor betydning for astronomien, fysikken og det tekniske indenfor fysikken.

Konklusion og perspektivering

For at opsummere så var den naturvidenskabelige revolution i Europa i 1600-tallet en tid fyldt med forandringer og nye opdagelser. Den naturvidenskabelige metode blev revolutioneret, og man begyndte at eksperimentere og inddrage matematikken i naturvidenskaben til at beskrive de naturvidenskabelige virkninger. Derudover må man konkludere, at der er blevet redegjort for udviklingen af differential- og integralregningen med inddragelse af et analyseret eksempel under tangentbestemmelse. Man kan også konkludere, at forskellen mellem Newton og Leibniz er at Newtons teori er præget af bevægelse og praktisk matematik, hvor Leibniz’ teori er mere generel. Man må udlede at Newton og Leibniz har haft en stor betydning for matematikkens udvikling og Newton har især haft betydning for fysikkens matematik. Til slut kan man konkludere at differential- og integralregningen med dens infinitesimale størrelser har været det største gennembrud i matematikkens historie og har gjort det muligt at løse et hav af matematiske og naturvidenskabelige problemer.

Man kan perspektivere infinitesimalregningen op til 1960, hvor A. Robinson har bevist igennem ikke-standard analyse, at de infinitesimale værdier rent faktisk består af mængder og har fuldendt Leibniz’ teori, hvor at Leibniz ikke kunne forklare disse infinitesimale værdier. Man kan perspektivere også differential- og integralregningen op til i dag, hvor man benytter teorien til bestemmelse af rumsonde- og satellitbaner, i forhold til det 17. århundrede hvor man brugte det til at beskrive planeternes baner i planet.

Bilag 1:

[35]

Bilag 2:

[36]

Bilag 3:

[37]

Litteraturliste

Ball, W. W. R. (1960). A short account of the history of mathematicians. (4.udg.). USA: Dover Publications, Inc.

Becker-Larsen, L. m.fl. (2009). En ny himmel: Verdensbilleder fra kugleskaller til kvanteskum. Gylling: Aarhus universitetsforlag

Berkeley, G. (1754). The analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician. (2.udg.). Michigan: J. and R. Tonson and S. Draper

Clark, G. (1947). The seventeenth century. (2.udg.). Storbritanien: Oxford paperbacks

Clausen, F. og Falkesgaard, J. og Løndahl, M. og Thiedecke, J. (1997). Skabt til at skabe: Renæssancens kultur i Europa. (1.udg.). Holme Olstrup: Aschehoug dansk forlag A/S

Høyrup, E. og Høyrup, J. (1973). Matematikken i samfundet. Tønder: Gyldendalske boghandel, Nordisk forlag A.S., Copenhagen

Jørgensen, N. D. B. og Sørensen, M. (2008). Den naturvidenskabelige revolution: 1500-1750. (1.udg.). Skive: Systime A/S

Leibniz, W. G. (1693). From ”Supplementum geometriaie dimensoriae…,” in Acta Eruditorum. I: Calinger, R. Classics of Mathematics (s. 393-394). New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Lund, J. (2014). Fra kvadratur til integration (2. udg.). Odder: Matematiklærerforeningen

Lund, J. (2011). Tangentbestemmelse: Historisk set (2. udg.). Odder: Matematiklærerforeningen

Lützen, J. (1996). Differentialregning. I: Den store danske encyklopædi. (nr. 5)

Maland, D. (1966). Europe in the seventeenth century. (1.udg.). Hong Kong: Macmillan education ltd

Newton, I. (1704). From the introduction to the Tractatus de quadratura curvarum. I: Calinger, R. Classics of Mathematics (s. 413-417). New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Newton, I. (1737). Methodus fluxionium et serierum infinitarum. I: Lützen, J. og Ramskov, K. Kilder til matematikkens historie (2.udg., s.84-89). København: Matematisk afdeling, Københavns universitet

Thiedecke, J. (2005). Europa i opbrud: 1453-1799. (1.udg.). Viborg: Forlaget pantheon

[1] Jørgensen, 2008, s. 19

[2] Clausen, 1997, s.40 tekst 26

[3] Clausen, 1997, s.40

[4] Clausen, 1997, s.28

[5] Clausen, 1997, s.31 tekst 9

[6] Clausen, 1997, s.32 tekst 11

[7] Jørgensen, 2008, s. 75-77

[8] Thiedecke, 2005, s.170

[9] Jørgensen, 2008, s.81-83

[10] Jørgensen, 2008

[11] Lund, 2011, s.2

[12] Lund, 2011, s.2

[13] Lund, 2011, s.12

[14] Lund, 2011, s.26

[15] Lund, 2011, s.37

[16] Lund, 2011, s. 51

[17] Lund, 2011, s.50-52

[18] Lund, 2014, s.9

[19] Lund, 2014, s.20+21

[20] Lund, 2014, s.26

[21] Lund, 2014, s.45

[22] Lund, 2014, s.44-45

[23] Lund, 2014, s.52

[24] Lund, 2014, s.67

[25] Lund, 2014, s. 75

[26] Lund, 2014, s.74-76

[27] Lund, 2014, s. 79

[28] Lund, 2014, s. 80

[29] Høyrup, 1973, s. 78

[30] Ball, 1960, s. 391-392

[31] Berkeley, 1754, s.10-11

[32] Berkeley, 1754, s.12-13

[33] Lund, 2011, s.62

[34] Lund, 2011, s. 61

[35] Lund, 2014, s.9

[36] Lund, 2014, s. 23

[37] Lund, 2014, s. 53